Estado estacionario como condición inicial para una partícula libre

Estoy tratando de averiguar qué le sucederá a mi partícula, si inicialmente se encuentra en el estado fundamental de un pozo cuadrado infinito y de repente se libera.

$$V(x) = 0, -\frac{a}{2} \leq x \leq \frac{a}{2}$$ y el infinito en otra parte. De repente, se elimina el potencial y quiero ver cómo cambiarán mis distribuciones de probabilidad en x y p.

he descubierto que

$$\psi(x,0) = \sqrt{\frac{2}{a}} \sin(\frac{\pi x}{a} + \frac{\pi}{2})$$

Cuál es mi función de onda inicial que cambiará con el tiempo una vez que se elimine el potencial. Pensé que podría usar el teorema de Plancherel para encontrar$\phi(p)$y luego usar

$$\psi(x,t) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}}\int^{\infty}_{-\infty} dp \phi(p)e^{ipx/\hbar}e^{-ip^2t/2\hbar m}$$

pero tampoco$\psi(x,0)$, ni$\phi(p)$son normalizables sobre el espacio libre, entonces, ¿cómo procedo?

he calculado$\phi(p)$dentro del pozo de potencial, pero no creo que eso me ayude.