Problema de geometría triangular

Dibujar$\angle BAD = \angle B$. Entonces$\angle CAD = \angle A - \angle B$. Decir$\angle A - \angle B = \alpha$.

Si$BD = x, AD = x, CD = 5 - x$.

Aplicando la ley de los cosenos en$\triangle CAD$,

$(5-x)^2 = x^2 + 4^2 - 2 \cdot 4 \cdot x \cdot \cos \alpha$

$25 + x^2 - 10 x = 16 + x^2 - 7x \implies x = 3$

Ahora sabemos los lados de$\triangle CAD$. Aplicando de nuevo la ley de los cosenos, encontramos$~ \cos \angle C = \dfrac{11}{16}$.

Puedes escribir los ángulos$A$y$B$como sigue

$A = \left( \dfrac{A + B}{2} \right) + \left( \dfrac{A - B}{2} \right)$

y

$B = \left( \dfrac{A + B}{2} \right) - \left( \dfrac{A - B}{2} \right )$

El ángulo$\theta = \dfrac{A - B}{2}$se sabe, es

$\theta = \dfrac{1}{2} \cos^{-1} (\frac{7}{8} )$

De la ley de los senos tenemos

$\dfrac{\sin A}{\sin B} = \frac{5}{4}$

Por lo tanto, desde$C = \pi - (A+B)$entonces$\phi = \dfrac{A + B}{2} = \dfrac{\pi - C}{2}$

$\dfrac{\sin( \phi + \theta ) }{\sin (\phi - \theta) } = \dfrac{5}{4}$

La única incógnita aquí es$\phi$.

Multiplicación cruzada y expansión

$4 \sin (\phi + \theta ) = 5 \sin(\phi - \theta)$

$4 ( \sin(\phi) \cos(\theta) + \cos(\phi) \sin(\theta) ) = 5 (\sin(\phi) \cos(\theta) - \cos(\phi) \sin(\theta) )$

Recopilación de términos

$\sin(\phi) \cos(\theta) = 9 \cos(\phi) \sin(\theta)$

Por eso,

$\tan(\phi) = 9 \tan(\theta)$

Ahora

$\theta = \frac{1}{2} \cos^{-1} \frac{7}{8}$

Por lo tanto,

$\cos(\theta) = \sqrt{ \dfrac{1 + \frac{7}{8} }{2} } = \dfrac{\sqrt{15}}{4}$

y

$\tan(\theta) = \sqrt{ \frac{16}{15} - 1 } = \dfrac{1}{\sqrt{15}}$

Por eso

$\tan(\phi) = \dfrac{9}{\sqrt{15}}$

a partir del cual

$\sec(\phi) = \sqrt{\frac{32}{5}}$

y

$\cos(\phi) = \sqrt{\frac{5}{32}}$

De este modo

$\cos(2 \phi) = 2 \left( \frac{5}{32} \right) - 1 = - \dfrac{11}{16}$

Pero$2 \phi = \pi - C$, por lo tanto,$C = \pi - 2 \phi$

A partir del cual$\cos(C) = - \cos(2 \phi) = \boxed{\dfrac{11}{16}}$

Con las 3 piezas dadas de información independiente podemos construir$\triangle{ABC}$. Entonces$\cos \widehat{C}$se puede calcular usando las longitudes de los lados.

Dibuja el circuncírculo de$ABC$, luego dibuja su tangente desde$C$y que esa tangente encuentre la extensión de$BA$en$D$. Entonces$\widehat{BDC}=\widehat{A}-\widehat{B}$

$\triangle{ADC}$y$\triangle{BDC}$son similares. Por lo tanto:

$$\frac{DA}{DC} = \frac{DC}{DB} = \frac{AC}{BC} = \frac45$$ Como resultado,$\frac{AB}{DB}=\frac{9}{25}$y si calculamos$DB$entonces tendremos$AB$.

Ahora en$\triangle{ADC}$dibujar altitud$AH$. ¿Puedes tomarlo desde aquí?