¿Cuántos ángulos tienen medidas enteras en grados y son ángulos interiores de un triángulo de lados enteros?

Determina cuántos ángulos posibles α tal que

i) La medida de α , en grados, es racional

ii) α es un ángulo interior de un triángulo con lados enteros

¿Alguien podría darme una pista para este problema? (No sé si es fácil o no)

Creo que la respuesta es 3. No es solo porque no dice que el seno es racional, sino que lo que dijo es equivalente porque muestra que el coseno es racional, por lo que el seno también lo es.

Usando la ley de los cosenos, el coseno será racional. ¿Qué sigue?
@herbsteinberg ¿Tienes algún consejo para ii?
¿Has oído hablar del teorema de Niven?
@CalvinLin ¡No! ¿Cuál es la relación? Puedo buscar saber
Busqué en Google, creo que la respuesta es 3
Búscalo en Wikipedia. Me parece que tiene que ser un triángulo equilátero. En todo caso α = 60 o .
@herbsteinberg Entonces, ¿la respuesta sería 1?
Otra posibilidad - triángulo rectángulo con lados racionales.
en.wikipedia.org/wiki/Eisenstein_triple y los enlaces allí responderán a su pregunta. ¿Por qué no leerlo y luego publicar una respuesta basada en lo que encuentre?

Respuestas (1)

Para que todos los lados sean enteros, el coseno del ángulo debe ser racional. Los únicos Tres valores donde el ángulo es un número entero y el coseno es racional son

  • 60 ° triángulos equiláteros, pero hay otros ejemplos;

  • 90 ° triángulos pitagóricos, como el 3 − 4 − 5 triángulo;

  • 120 ° tales como el 3 − 5 − 7 triángulo.

No tengo una prueba formal de ello y estaré feliz de ver una. Usé Excel para buscar tales triángulos.

Editar: siguiendo el comentario de @URL

Gracias @URL, nunca había oído hablar del teorema de Niven. Para aquellos que estén interesados, se puede encontrar una prueba aquí .

Este resultado se conoce como el Teorema de Niven, por cierto.
¿Cuántos ángulos tienen medidas enteras en grados y son ángulos interiores de un triángulo de lados enteros?
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