Intersección del círculo en coordenadas radiales?

Tenemos dos círculos en el plano descrito por$C_0 = (x_0, y_0, r_0)$y$C_1 = (x_1, y_1, r_1)$

Sabemos que se cruzan pero uno no se superpone completamente al otro. Es decir, sus interiores no son disjuntos ni uno es un subconjunto del otro.

Claramente, los bordes de los dos círculos se cruzan exactamente en dos puntos.

Si describimos los puntos de$C_0$en "coordenadas radiales paramétricas" como:

$$\begin{align} P(\theta) = (x_0 + r_0\cos{\theta}, y_0 + r_0\sin{\theta}) \end{align}$$

Entonces hay dos valores de$\theta \in [0,2\pi)$correspondiente a los dos puntos de intersección de la frontera tal que:

$$\begin{align} r_1 &= |P(\theta) - (x_1,y_1)| \\ {r_1}^2 &= (x_0 - x_1 + r_0\cos{\theta})^2 + (y_0 - y_1 + r_0\sin{\theta})^2 \tag{1} \end{align}$$

¿Cómo resuelvo la ecuación (1) para$\theta$?

si asigno$d_x = x_0 - x_1$y$d_y = y_0 - y_1$y expandir el rhs obtengo:

$$\begin{align} {r_1}^2 = {d_x}^2 + 2d_xr_0\cos{\theta} + {r_0}^2\cos^2{\theta} + {d_y}^2 + 2d_yr_0\sin{\theta} + {r_0}^2\sin^2{\theta} \end{align}$$

Pero entonces estoy igualmente atascado.

$$\begin{align} \theta = {???} \end{align}$$