¿Existe una forma natural de demostrar que las identidades trigonométricas también son válidas para los números complejos?

En el análisis complejo, las funciones trigonométricas se definen a través de Exp que a su vez se define mediante series de potencias. Por supuesto, es fácil ver eso en R , todas estas funciones concuerdan con sus versiones habituales de variables reales con las que estamos bien familiarizados.

En el caso real hay algunas identidades básicas como porque incluso, pecado es raro y porque ⁡ ( X ) = pecado ⁡ ( π 2 − X ) etc. También hay otros más complicados como

(1) porque ⁡ ( X − y ) = porque ⁡ X porque ⁡ y + pecado ⁡ X pecado ⁡ y .

Q1: hacer identidades de variables reales como ( 1 ) también aguanta cuando X , y son numeros complejos? (Por supuesto, las identidades que involucran raíces cuadradas no están incluidas aquí. Básicamente, solo nos preocupamos por porque ⁡ ( X ± y ) , pecado ⁡ ( X ± y ) etc.

P2: si es así, ¿hay alguna forma natural (o ingeniosa) de ver esto, además de ir a lo básico? Exp definición y cálculo término por término?

¡Gracias!

Una idea que se me acaba de ocurrir: usar la unicidad de extensión de funciones holomorfas. Estoy tratando de desarrollarlo.
Por lo general, muestra (LHS)-(RHS) es una función holomorfa, que es cero en la línea real. Por lo tanto, es cero en todas partes.
@SteveD ¡muy ingenioso! Gracias. Solo estaba pensando en arreglar primero una variable como real, flexionando la otra C y luego flexionando ambos. ¡Pero el tuyo es definitivamente mejor!

Respuestas (1)

Puedo responder a mi propia pregunta. tomaré porque ⁡ ( X − y ) como ejemplo. Por simplicidad denotamos la identidad ( 1 ) como

(*) porque ⁡ ( X − y ) = F ( X , y ) ,
dónde F ( X , y ) es la expresión de RHS .

Arreglar X ∈ R . Considere el mapa C ∋ z ↦ porque ⁡ ( X − z ) que es claramente holomorfa. Cuando z ∈ R , porque ⁡ ( X − z ) = F ( X , z ) sostiene Pero F ( X , z ) también es holomorfo, por lo que porque ⁡ ( X − z ) = F ( X , z ) debe mantenerse durante todo el z ∈ C dominio.

Ahora hemos demostrado que cuando X ∈ R , y ∈ C , ( ∗ ) sostendrá. Arreglemos y como cualquier número complejo, y considere el mapa C ∋ z ↦ F ( z , y ) , y aplicamos el argumento de extensión una vez más, entonces concluimos que ( ∗ ) siempre se mantiene incluso cuando ambas variables son complejas.

Punto clave: desde R tiene una secuencia de puntos distintos que converge en sí mismo, la extensión de una función holomorfa de R a C es único.

Esto es esencialmente correcto. Por lo general, es más fácil escribir F X ( z ) = porque ⁡ ( X − z ) − ( porque ⁡ X porque ⁡ z − pecado ⁡ X pecado ⁡ z ) , espectáculo F X ( z ) para la función (así que solo estás mostrando F X ( z ) es cero en algún conjunto con un punto límite, por lo que la identidad se cumple en este conjunto). Sin embargo, esto es principalmente una cuestión de gusto, creo.
@Mark, sí, creo que estamos diciendo lo mismo. Es solo que usé algo así como una función lambda sin nombrarla.
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