Problema con diferenciación bajo signo integral

Problema original: tengo un problema en el que necesito evaluar la integral:

$$\int_1^\infty \dfrac{\sqrt{r^2-1}e^{-\alpha r}}{r} dr\,$$ He tratado de evaluarlo tomando la $\alpha$derivado, aquí te doy todos los pasos que he hecho: $$\int_1^\infty \dfrac{\sqrt{r^2-1}e^{-\alpha r}}{r} dr\,=-\int d\alpha \int_1^\infty\sqrt{r^2-1}e^{-\alpha r}=-\int d\alpha \dfrac{K_1(\alpha)}{\alpha}\\ =-\frac{1}{4} G^{2,1}_{0,1}\left(\frac{\alpha}{2},\frac{1}{2} \middle| \begin{array}{c} 1 \\ -1/2,1/2,0 \\ \end{array} \right)$$ Los dos últimos pasos en la última ecuación se obtuvieron usando Mathematica y se verificaron numéricamente, sin embargo, calculé numéricamente la primera integral para algunos valores diferentes para $\alpha$y no coincide con los valores que da la función MeijerG.

Así que ahora creo que tengo dos posibilidades:

-Hay algo mal en el primer paso, la diferenciación bajo el signo integral no funciona y no sé por qué podría ser así.

-Es un problema numérico. Mathematica podría estar dándome valores incorrectos de la integral, pero creo que esto no puede ser porque he estado cambiando la precisión y el método para la integral numérica, obteniendo los mismos resultados.

Quiero saber qué está pasando, he probado ejemplos similares con el mismo método y he obtenido buenos resultados. Por supuesto, si tienes otra forma de evaluar esta integral, no lo dudes, me gustaría saberla, pero también me gustaría saber qué está mal aquí.

EDITAR:

Comparación entre la solución numérica y la solución MeijerG (usando la diferenciación bajo el signo integral) como$\alpha$funciones:

EDITAR 2:

He encontrado que la diferencia entre la integral numérica y la solución analítica obtenida usando la diferenciación bajo el signo integral es exactamente$\pi/2$para todos$\alpha$. En realidad he encontrado que para una integral de la forma:

$$\int_z^\infty \dfrac{(r^2-z)^c e^{-\alpha r}}{r} dr\,$$ Siendo za un número positivo y $0<c<1$. La diferenciación bajo el método del signo integral da como resultado una función f(z,c).

Por ejemplo:

-Para z=1 y c=1/2, esta función es igual a$\pi/2$

-Para z=1 y c=1/3 esta función es igual a$\pi/\sqrt{3}$

-Para c=1/2 esta función es exactamente$f(z,1/2)=-1+(1+\frac{\pi}{2})z$

Con esto puedo continuar con mis cálculos pero, ¿alguien sabe por qué sucede esto?

¿Conoces una forma de obtener esta función f(z,c) analíticamente?