Actualización : por lo que vale, esperaré unas horas más para ver si alguien más tiene una respuesta más completa a mi pregunta. Pero si no, "aceptaré" una de las dos respuestas existentes, las cuales son muy buenas, aunque no tan completas como esperaba.
Estoy tomando AP Calculus AB en este momento y estamos aprendiendo sobre antiderivadas (integrales indefinidas) para la Unidad II. Antes de eso, aprendimos algunas reglas básicas de derivadas para funciones transformadas, como:
(También aprendimos las derivadas de algunas funciones elementales, por ejemplo, polinomios, funciones exponenciales, seno y coseno).
Para las antiderivadas también hemos memorizado (y probado) fórmulas para algunas funciones básicas, pero a diferencia de las derivadas, no se nos ha enseñado mucho sobre qué hacer con las funciones transformadas.
Considere, digamos, encontrar la antiderivada si . O encontrar la antiderivada si . (O peor aún, ¿qué tal si Fue en realidad , y Fue en realidad ?) No estoy del todo seguro de cómo resolver estos problemas de manera sistemática y cuidadosa.
¿Debería tratar de aprender la sustitución de u integral o algún truco como ese (que aún no hemos cubierto en clase), o es mejor que simplemente intente "invertir" intuitivamente las reglas de diferenciación lo mejor que pueda? Quiero encontrar un método relativamente eficiente para integrar funciones básicas, pero en este momento estoy bastante confundido. (A menudo, intentar revertir las reglas de diferenciación me da un poco de dolor de cabeza jaja y me pierdo por completo porque es difícil pensar en las cosas al revés).
Tendrás que aprender las reglas de sustitución para composiciones de funciones más complicadas. Pero para cosas simples, como , es más rápido hacer una conjetura razonable y luego "arreglar las constantes". La conjetura razonable para lo anterior es "algo con ". Diferenciando da con un factor no deseado de . Inmediatamente se sigue que las antiderivadas correctas de son de la forma .
Las integrales son muy, muy difíciles hasta el punto de que algunas de ellas usan funciones que son fáciles de entender y es imposible encontrar una antiderivada de (ej. no puede expresarse de ninguna manera "simple". Sin embargo, existen algunos métodos de integración más complejos (como la fórmula integral de Cauchy ) que no se tratan necesariamente de encontrar antiderivadas, pero esas fórmulas integrales son solo casos especiales y es probable que no aprenda sobre ellas en el transcurso de su clase de cálculo AB. .
En general, cualquier método de integración que haga en su clase simplemente aplicará las reglas de derivadas al revés. Pero con el tiempo, de manera similar a como probablemente aprendiste a factorizar expresiones rápidamente en álgebra, aprenderás a reconocer más rápidamente qué hacer en una determinada integral. Pero seguirás aplicando las reglas derivadas al revés. Sin embargo, si realmente tiene problemas, le recomiendo que aprenda la sustitución de u y otras reglas integrales más simples. Esencialmente, solo ocultan el ensayo y error en las fórmulas, pero aún así ahorran mucho tiempo en integrales más complejas.
Miqueas
david k
JG