Magia de notación diferencial en integración por sustitución de u [duplicado]

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Magia de notación diferencial en integración por sustitución de u [duplicado]

cálculo
derivados
integración
Matemáticas
análisis real

parlamentario björn

Estoy realmente confundido ahora. Siempre pensé que la notación diferencial $\frac{df}{dx}$ Era solo eso, una notación.

Pero de alguna manera, cuando hago la integración por sustitución de u, me dicen que puedes convertir algo como esto $\frac{du}{dx} = 2x\;$ dentro de esto $\;du = 2x\ dx$ .

Pero, ¿cómo es eso posible? Entiendo que la notación proviene del hecho de que $\frac{du}{dx}$ en realidad significa el límite de la diferencia en $u$ sobre la diferencia de $x$ , con $\Delta x$ que se acerca $0$ .

{tu}^{'} (X) = \frac{d tu}{d X} = \frac{d tu (X)}{d X} = \underset{Δ X \to 0}{límite} \frac{tu (X + Δ X) - tu (X)}{(X + Δ X) - X} = \underset{Δ X \to 0}{límite} \frac{tu (X + Δ X) - tu (X)}{Δ X}

$u'(x) = \frac{du}{dx} = \frac{du(x)}{dx} = \lim_{\Delta x\to 0} \frac{u(x+\Delta x)\ -\ u(x)}{(x+\Delta x) - x} = \lim_{\Delta x\to 0} \frac{u(x+\Delta x)\ -\ u(x)}{\Delta x}$

Así que si $\frac{df}{dx}$ es solo una notación para el límite mencionado anteriormente, entonces, ¿cuál es el argumento subyacente para decir que puede tratar $\frac{du}{dx}$ como si fuera una fracción real?

Agradezco la ayuda =)

parlamentario björn

Entonces, en términos prácticos, ¿simplemente lo trato como una fracción? Porque hasta Wikipedia dice que esto es válido:

\frac{d tu}{d X} = 2 X

$\frac{du}{dx} = 2x$

d tu = 2 X d X

$du = 2x\ dx$

\frac{d tu}{2} = X d X

$\frac{du}{2} = x\ dx$ en.wikipedia.org/wiki/Integration_by_substitution

Respuestas (2)

Magia de notación diferencial en integración por sustitución de u [duplicado]

Entonces, en términos prácticos, ¿simplemente lo trato como una fracción? Porque hasta Wikipedia dice que esto es válido: $\frac{d tu}{d X} = 2 X$ $\frac{du}{dx} = 2x$ $d tu = 2 X d X$ $du = 2x\ dx$ $\frac{d tu}{2} = X d X$ $\frac{du}{2} = x\ dx$ en.wikipedia.org/wiki/Integration_by_substitution

defectuoso · Answer 1

En realidad es solo una notación. Y el truco con la sustitución, por ejemplo. $du = 2xdx$ no tiene ningún significado matemático , es solo una forma conveniente de memorizar la integración por regla/ley/teorema de sustitución:

\int_{a}^{b} F (ϕ (t)) ϕ^{'} (t) d t = \int_{ϕ (a)}^{ϕ (b)} F (X) d X

$\int_a^b f(\phi(t)) \phi'(t) dt = \int_{\phi(a)}^{\phi(b)} f(x)dx$

Yendo de izquierda a derecha, es posible que desee hacer la sustitución $x=\phi(t)$ . Nuestro mnemotécnico nos dice que $\frac{dx}{dt} = \phi'(t)$ o en otras palabras que tienes que reemplazar $\phi'(t)dt$ con $dx$ si reemplazas $\phi(t)$ con $x$ . Si vuelves a mirar la ecuación anterior, verás que este mnemotécnico hace un buen trabajo, por lo que no tenemos que memorizar toda esta ecuación.

Utilizo el mnemotécnico, pero aún así siempre tengo esta ecuación en mente cuando lo hago.

A.Γ. · Answer 2

Es sólo una cuestión de malas notaciones. Cuando veas

d F = \frac{d F}{d X} d X

$\color{red}{df}=\frac{df}{dx}\color{red}{dx}$ no significa que el

d x

$dx$ se cancela, significa que las variables rojas son simplemente una notación ambigua para otra cosa.

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parlamentario björn

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Respuestas (2)

defectuoso

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