La 2ª parte del "Teorema Fundamental del Cálculo".

Es natural que el Teorema Fundamental del Cálculo tenga dos partes, ya que moralmente expresa el hecho de que la diferenciación y la integración son procesos mutuamente inversos, y esto equivale a dos afirmaciones: (i) integrando y luego derivando y (ii) derivando y luego integrando obtenemos nosotros (esencialmente) de vuelta donde empezamos.

Por otro lado, muchas personas han notado que las dos partes no son completamente independientes: por ejemplo, si$f$es continua, entonces (ii) se sigue fácilmente de (i). Sin embargo, para discontinuos, pero integrables de Riemann,$f$, el teorema sigue siendo válido, y esto es lo que requiere un argumento adicional no trivial. Consulte la página 8 de

http://alpha.math.uga.edu/~pete/243integrals1.pdf ( Máquina Wayback )

para una discusión de este punto.

No puedo decir a partir de su pregunta qué tan directamente lo aborda esta respuesta. En caso afirmativo, y tiene más inquietudes, hágamelo saber.

Los nombres "primero" y "segundo" para las dos partes del teorema no tienen sentido. Nombres más correctos serían existencia y singularidad . Tampoco es irrazonable separar el enunciado de unicidad de la fórmula que relaciona integrales definidas con antiderivadas, que es una consecuencia algebraica del enunciado (analítico) de unicidad. La fórmula podría considerarse como una tercera parte del teorema, pero numerar partes de un teorema en un orden particular es una nomenclatura poco informativa, como llamar a los teoremas "fundamentales".

El teorema fundamental del cálculo afirma la existencia y unicidad de antiderivadas (soluciones de la ecuación diferencial$y' = f(x)$con valor dado de$y(x_0)$en un punto). Aparte de las consideraciones puramente lógicas, hay varias razones por las que el teorema de unicidad es importante.

• Integrales indefinidas de la forma$\int_p^x f(t) dt$, que son las que aparecen en la mayoría de las presentaciones de la parte de existencia del teorema, en algunos casos no dan cuenta de todas las antiderivadas de$f(x)$como punto de partida$p$es variada sobre todos los números reales.

• En la presentación más precisa$y(x) = y(a) + \int_a^x f(t) dt$aún existe la posibilidad de que otros procesos, incluso más mágicos que la integración, puedan estar relacionados con la antidiferenciación. Por lo tanto, es interesante encontrar estas especies exóticas o demostrar que las integrales lo dan todo.

• Un análisis explícito de la unicidad se vuelve más apremiante cuando se integran funciones con singularidades, como en$\int dx/|x|^p$para$p=1$y$p=1/2$(El número de constantes de integración cambia, por lo que esto es necesario para escribir fórmulas de solución con total generalidad).

• la fórmula algebraica implícita en la unicidad,$\int_a^b f = F(b)-F(a)$, es importante como medio para calcular integrales y como base de la notación que admite cambios de variable de integración (sustituciones).

Esta es la parte del teorema fundamental que te permite calcular integrales ; entonces puede calcular áreas y, con más teoría, incluso volúmenes, superficies, etc. ¿Lo suficientemente emocionante?