Comprender la relación entre la diferenciación y la integración

Question

Comprender la relación entre la diferenciación y la integración

Aesir

Estoy tratando de entender la relación entre la diferenciación y la integración. La diferenciación me ha sido presentada por este diagrama:

ingrese la descripción de la imagen aquí

Lo que muestra que la derivada de un punto $x$ en una función continua $f(x)$ es la pendiente de una línea que es tangente a ese punto en particular, como se muestra en el diagrama.

Esto se puede escribir como

\underset{h \to 0}{límite} (\frac{F (X + h) - F (X)}{h}) = F^{'} (X)

$\lim_{h \to 0} \left(\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}\right)=f'\left(x\right)$

y esto da el gradiente del punto $(x, f(x))$ .

A continuación, examine este diagrama:

ingrese la descripción de la imagen aquí

El área bajo la función continua de $f(x)$ de $a$ a $x$ es $A(x)$ , sombreado en rosa. El área de $A(a)$ es $0$ y el área de $a$ a $b$ es $A(b)$ . Siguiendo esta convención, el área de $x$ a $x+h$ es

A (X + h) - A (X)

$A\left(x+h\right)-A\left(x\right)$

Esta sección tiene con $h$ y el área es cercana a la de un rectángulo por lo que se puede decir que

A (X + h) - A (X) \approx h F (X)

$A\left(x+h\right)-A\left(x\right)\approx hf(x)$

Si divides esto por $h$ obtienes una ecuación que muestra que la derivada de $f(x)$ es $A'(x)$ .

\underset{h \to 0}{límite} (\frac{A (X + h) - A (X)}{h}) = F (X)

$\lim_{h \to 0} \left(\frac{A\left(x+h\right)-A\left(x\right)}{h}\right)=f\left(x\right)$

y por lo tanto

A^{'} (X) = F (X)

$A'(x)=f(x)$

Aquí es donde tengo un problema, antes se dijo que la derivada es el gradiente de una línea que es tangente a un punto en una función continua. Aquí, sin embargo, tenemos un área que encierra muchos puntos que no son una línea tangente a una función continua. Entonces, no veo cómo puedes encontrar la derivada de un área porque no es un punto en el que puedes encontrar el gradiente de una línea que es tangente a él.

(Imágenes extraídas de textos de cursos proporcionados por Open University, Capítulos C1 y C2 del curso MST121).

willie wong

Intenta trazar la curva

y = A (x)

$y = A(x)$ . El "área hasta ahora" para cada dado

x

$x$ es un numero

A (x)

$A(x)$ . Esta función tiene un gráfico.

A^{'} (x)

$A'(x)$ es precisamente la pendiente de la tangente a esta gráfica.

Aesir

Lo siento, no entiendo completamente esto. Si

A (x)

$A(x)$ es el área bajo la función, entonces, ¿cómo puedo trazar

y = A (x)

$y=A(x)$ ? Como

y = A^{'} (x) = f (x)

$y=A'(x)=f(x)$ ?

Respuestas (1)

Comprender la relación entre la diferenciación y la integración

Intenta trazar la curva $y = A(x)$ . El "área hasta ahora" para cada dado $x$ es un numero $A(x)$ . Esta función tiene un gráfico. $A'(x)$ es precisamente la pendiente de la tangente a esta gráfica.
Lo siento, no entiendo completamente esto. Si $A(x)$ es el área bajo la función, entonces, ¿cómo puedo trazar $y=A(x)$ ? Como $y=A'(x)=f(x)$ ?

pedro · Answer 1

Importante : la derivada tiene una interpretación geométrica como dices, pero eso no significa que sea la definición de la derivada.

Intenta verlo de esta manera: cuando integramos (a la manera de Riemann), estamos haciendo una "suma continua" de una función continua $f(x)$ con respecto a la cantidad infinitesimal $dx$ durante un intervalo $(a,x)$ - estamos tomando el "producto" de $f$ y $dx$ sobre los infinitos valores reales en $(a,x)$ y "resumirlas", obteniendo una nueva función $F(x)$ .

Es decir, supongamos que definimos

F (X) = \int_{a}^{X} F (t) d t

$F(x) = \int\limits_a^x f(t) dt$

Entonces podemos poner esto geométricamente en el siguiente diagrama:

ingrese la descripción de la imagen aquí

Estamos interesados en encontrar $F'(x)$ , entonces construimos nuestra diferencia:

\underset{Δ X \to 0}{límite} \frac{F (X + Δ X) - F (X)}{Δ X}

$\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{F\left( {x + \Delta x} \right) - F\left( x \right)}}{{\Delta x}}$

Podemos escribir esa expresión como

\frac{1}{Δ X} (\int_{a}^{X + Δ X} F (t) d t - \int_{a}^{X} F (t) d t)

$\frac{1}{{\Delta x}}\left( {\int\limits_a^{x + \Delta x} {f\left( t \right)dt} - \int\limits_a^x {f\left( t \right)dt} } \right)$

Pero usando algunos teoremas de integración definida tenemos

\frac{1}{Δ X} (\int_{X}^{X + Δ X} F (t) d t + \int_{a}^{X} F (t) d t - \int_{a}^{X} F (t) d t) = \frac{1}{Δ X} \int_{X}^{X + Δ X} F (t) d t

$\frac{1}{{\Delta x}}\left( {\int\limits_x^{x + \Delta x} {f\left( t \right)dt} + \int\limits_a^x {f\left( t \right)dt} - \int\limits_a^x {f\left( t \right)dt} } \right) = \frac{1}{{\Delta x}}\int\limits_x^{x + \Delta x} {f\left( t \right)dt}$

También sabemos que si $f(x)$ es continua (que asumimos que es), tenemos

\frac{1}{Δ X} \int_{X}^{X + Δ X} F (t) d t = \frac{1}{Δ X} F (ξ) Δ X = F (ξ)

$\frac{1}{{\Delta x}}\int\limits_x^{x + \Delta x} {f\left( t \right)dt} = \frac{1}{{\Delta x}}f\left( \xi \right)\Delta x = f\left( \xi \right)$

para algunos $\xi$ en $[x,x+\Delta x]$

Ahora tomando el límite produce

F^{'} (X) = \underset{Δ X \to 0}{límite} \frac{F (X + Δ X) - F (X)}{Δ X} = \underset{Δ X \to 0}{límite} F (ξ)

$F'\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{F\left( {x + \Delta x} \right) - F\left( x \right)}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} f\left( \xi \right)$

pero tenemos eso $\xi \in \left[ {x,x + \Delta x} \right]$ , Lo que significa que

\underset{Δ X \to 0}{límite} F (ξ) = F (X)

$\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} f\left( \xi \right) = f\left( x \right)$

¿Qué hemos hecho? Hemos recuperado la función original. $f$ que sumamos junto con $dx$ encima $(a,x)$ para obtener $F(x)$ . Entonces, ¿qué nos dice esto? Esa diferenciación en el sentido "operativo", revierte el proceso de integración, al igual que la multiplicación "revierte" el proceso de división.

No soy profesor ni tutor ni nada por el estilo, así que tal vez puedas obtener mejores respuestas de esas personas, pero espero que entiendas lo que pretendía explicar.

Otra consecuencia importante de esto es la siguiente:

Hemos probado que si tenemos una función $f(x)$ y definido $F(x)$ como

F (X) = \int_{a}^{X} F (t) d t

$F\left( x \right) = \int\limits_a^x {f\left( t \right)dt}$

entonces $F'(x) = f(x)$ , eso es, $F$ es un primitivo de $f$ . Pero sabemos que dos primitivas de $f$ sólo diferirá por un término constante, entonces, sea $G$ ser otro primitivo. tenemos eso

\int_{a}^{X} F (t) d t - GRAMO (X) = C

$\int\limits_a^x {f\left( t \right)dt} - G\left( x \right) = C$

Pero luego poner $x=a$ da

- GRAMO (a) = C

$- G\left( a \right) = C$

Obtenemos un nuevo resultado. Si $G$ es un primitivo de $f$ , entonces se cumple lo siguiente:

\int_{a}^{X} F (t) d t = GRAMO (X) - GRAMO (a)

$\int\limits_a^x {f\left( t \right)dt} = G\left( x \right) - G\left( a \right)$

@Pedro, "𝐹 es un primitivo de 𝑓", ¿hay una definición formal para esto? ¿Cuándo decimos que una función es una primitiva de otra? ¡Gran respuesta, por cierto!

Comprender la relación entre la diferenciación y la integración

Aesir

willie wong

Aesir

Respuestas (1)

pedro

Aesir

Gigili

xabush

¿Puede esto ser resuelto por FTC2?

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