parábola de longitud de arco de integración especial en forma estándar

Bueno, antes que nada tu paso está mal. Las dos integrales no son iguales. En esta respuesta te ayudaré a evaluar la integral.

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Tenemos:

$$\mathscr{I}_{\space\text{n}}:=\int_0^\text{n}\sqrt{1+\left(\frac{x}{\text{n}}\right)^2}\space\text{d}x\tag1$$

Sustituto$\text{u}:=\arctan\left(\frac{x}{\text{n}}\right)$:

$$\mathscr{I}_{\space\text{n}}=\text{n}\cdot\int_{\arctan\left(\frac{0}{\text{n}}\right)}^{\arctan\left(\frac{\text{n}}{\text{n}}\right)}\sec^3\left(\text{u}\right)\space\text{d}\text{u}=\text{n}\cdot\int_0^\frac{\pi}{4}\sec^3\left(\text{u}\right)\space\text{d}\text{u}\tag2$$

Ahora, aplicando esto (la prueba está en la página Wiki), podemos escribir:

$$\mathscr{I}_{\space\text{n}}=\text{n}\cdot\left[\frac{\sec\left(\text{u}\right)\cdot\tan\left(\text{u}\right)}{2}+\frac{\ln\left|\sec\left(\text{u}\right)+\tan\left(\text{u}\right)\right|}{2}\right]_0^\frac{\pi}{4}=\text{n}\cdot\frac{\sqrt{2}+\text{arcsinh}\left(1\right)}{2}\tag3$$

Su pregunta no es específica de las integrales y se puede reformular de la siguiente manera:

tengo una expresion

$$E=a\cdot b$$ donde me descompongo $b$con

$$b=b'+b''.$$

Entonces, obviamente, la distributividad se aplica

$$E=a\cdot b=a\cdot(b'+b'')=a\cdot b'+a\cdot b''.$$