Probé algo mal. Si a y b son irracionales prueba que a + b es irracional o racional.

Estoy practicando y encontré esta pregunta.

Si a y b son irracionales, probar o refutar que a + b es irracional

Entonces probé la contradicción (a + b es irracional).

Dejar a y b ser números irracionales arbitrarios. Asumir que a + b es racional

Entonces a + b = X / y para algunos enteros X y y .

entonces y ( a + b ) = X

y a y + b y = X

Porque X era un entero a y es un entero y b y es un número entero.

entonces a divide a y y b divide b y . Pero eso es imposible porque a es irracional, b es irracional e y es un número entero.

Entonces a + b debe ser irracional también.

Ahora sé que esto está mal. Porque encontré un contraejemplo como solución.

s q r t ( 2 ) + − s q r t ( 2 ) = 0.

¿Alguien puede señalar mi error de lógica? ¡Muchas gracias por adelantado!

Como conoce un contraejemplo, simplemente examine su prueba en este caso hasta que llegue a una línea que sea falsa. Llegarás a "Porque X era un entero y 2 es un número entero", lo que produce la contradicción de que 2 ∈ q , desde y ≠ 0. Entonces esa inferencia es falsa, lo que invalida la prueba. Entonces, su contraejemplo es también un contraejemplo de la supuesta inferencia, es decir X + y ∈ Z ⇒ X , y ∈ Z .    
El método anterior funciona generalmente para depurar pruebas cuando conoce un contraejemplo, por ejemplo aquí y aquí y aquí para algunos ejemplos resueltos y una discusión más detallada.
Puede usar "\sqrt n" en lugar de "sqrt n" para obtener norte , por si no lo sabías.
@Yao Hao Ng, ¡gracias, no lo sabía!

Respuestas (3)

a y y b y no es necesario que sean números enteros en su prueba.

0 = 2 + ( − 2 ) . Si la suma de dos números es un número entero, no se puede decir que ambos números son números enteros.

Gracias @Kabo Murphy, lo siento por ser lento. Si dejo que x no sea cero, ¿puede ay + by no ser un número entero y ser igual a un número entero? Como si x/y fuera un número racional distinto de cero.
1 = ( 2 ) + ( 1 − 2 ) ; cualquier número entero se puede escribir como la suma de números no enteros. @oliver
Ya lo veo. Algo... :-D gracias!

El error está en el paso cuando dices "Porque X era un entero a y es un entero y b y es un número entero".

Como muestra su contraejemplo, la suma de dos números reales no enteros puede ser un número entero.

Lo obtuve del amable segundo comentario de Kabo, ¡gracias!

el error es que   a y   y   b y   no pueden ser números enteros ya que   a   y   b   son irracionales y   y   un entero distinto de cero.

Hola @Peter gracias. Sí, esa fue la idea de mi prueba de que no pueden ser números enteros. Simplemente fui a ir más allá. Pero si no pueden ser enteros a+b no puede ser racional entonces tiene que ser irracional? lo siento por ser lento
Si   a   y   b   son irracionales,   a + b   puede ser cualquier cosa: irracional, racional e incluso un número entero. Pero en tu prueba, aparentemente usaste eso   a y   y   b y   son números enteros que no es el caso.
Probé algo mal. Si a y b son irracionales prueba que a + b es irracional o racional.
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