¿Podemos usar el principio de explosión para justificar que la definición de implicación sea verdadera cuando el antecedente es falso?

Question

¿Podemos usar el principio de explosión para justificar que la definición de implicación sea verdadera cuando el antecedente es falso?

lógica
pruebas falsas
Matemáticas
prueba de verificación
cálculo proposicional

charlie parker

Estaba tratando de entender por qué las últimas dos entradas de la tabla de verdad para las implicaciones se establecen en Verdadero cuando el antecedente es Falso (es decir, cuando A es Falso en A=>B) y su relación con el principio de explosión (si lo hay). Sé que esta es solo la definición de la verdad, pero estoy tratando de entender (quizás incluso) en un nivel filosófico más profundo por qué la definición es como es. No creo que sea una elección arbitraria. Por ejemplo, soy consciente de la forma de ver una implicación como una promesa, por ejemplo, este enlace. Lo que en realidad proporciona una buena forma intuitiva de recordarlo. Pero creo que hay una razón fundamental más profunda. Si no fuera así, planteo la hipótesis (¡lo que podría estar equivocado, de ahí mi pregunta!) Que una regla lógica de inferencia más fundamental no se mantendría. Este es mi razonamiento (esbozaré el paso que me cuestiono y quiero ver si es justificable):

Queremos decidir cómo definir el funcional A=>B cuando ~A. El primer paso es desglosar lo que sucede en una demostración de A=>B. [Este es el paso cuestionable] Cuando queremos proceder en una prueba de una implicación, debemos comenzar asumiendo que A es verdadero (es decir, cuando comenzamos a hacer "las matemáticas de una implicación"). Tenga en cuenta que esto nos dará inmediatamente que tenemos A y ~A (si $A$ en realidad eran falsas). Ahora, del principio de explosión podemos concluir cualquier cosa para cualquier B y en particular también para ~B. Entonces, se sigue que la última entrada de la tabla de verdad debe ser T,T. Si no fuera así, el principio de explosión (que depende de la eliminación conjuntiva, la introducción disyuntiva, la eliminación disyuntiva) debe reescribirse o alguna regla de inferencia más fundamental de la que dependa. Dado que las otras 3 reglas no se pueden reescribir ni ignorar, ya que posiblemente sean más "obviamente ciertas", entonces $A \implies B$ debe ser Verdadero cuando A es Falso.

¿Esto tiene sentido? ¿Mi suposición de comenzar el "pensamiento" o el "cálculo" de una implicación supone internamente dentro de la implicación que A es verdadero? ¿Es ese sonido? Internamente, dentro de una implicación, ¿realmente sucede esto cuando avanzamos y "probamos" una implicación?

La razón por la que soy un poco escéptico es porque $f_{implication}(A,B) = “A=>B”$ es solo una función booleana. Por lo tanto, A es una entrada ... uno no puede simplemente asumir que es cierto si se conecta $~A$ . Sin embargo, tal vez $f_{implication}(A,B)$ trabajar algorítmicamente primero considerando $A$ es verdad. Entonces sí $A$ es False pasa a ser la entrada, luego automáticamente da True debido al principio de explosión (supongo que tendría alguna forma de saber que la declaración $A$ realmente falso y así se daría cuenta de la contradicción y escupiría verdadero por el principio de explosión). Así que supongo que estoy sugiriendo un modelo de cómo funciona realmente la implicación dentro de él. el modelo seria ese $f_{implication}(A,B)$ empezar por asumir $A$ es Verdadero y procede ya sea "haciendo la prueba correcta" (primeras dos líneas de una implicación) o asumiendo $A$ es verdadero y luego notar una contradicción si la entrada era realmente $\neg A$ (o $A = False$ ).

¿El modelo que tengo en mi cabeza sobre cómo funciona una implicación es correcto (o al menos bueno)?

Más pensamientos:

Tenga en cuenta una de las razones por las que creo que esto es porque decir " $A$ implica $B$ "en un sentido lógico seguramente debería significar que B es derivable de $A$ dentro de un sistema deductivo dado de axiomas y reglas, y eso tiene que significar que si A es el caso, $B$ también es el caso y, a la inversa, si A es el caso y B no es el caso, entonces A no implica $B$ .

Pero debemos tener en cuenta lo que estamos haciendo. Estamos preguntando "¿es $A \implies B$ cierto cuando $A$ es falso?" O, de manera equivalente [esta es la parte de la que no estoy seguro], "si $A$ es cierto, será $B$ también ser cierto cuando $A$ es falsa?" Pero esta declaración está preguntando si $B$ se sigue de una contradicción (suponiendo que ambos $A$ y $\neg A$ ). En otras palabras, en las dos últimas líneas asumimos $A$ es falsa y luego pregunte si la declaración "con esta suposición no supone $A$ es cierto implica $B$ es verdad." Pero asumiendo $A$ es cierto cuando también estamos asumiendo $A$ es falso es asumir una contradicción (por lo tanto, principio de explosión), y por lo tanto implica $B$ .

¿Es esto correcto?

Ahora que pensé más en esto, parece que la fuente de la contradicción (explosión) que afirmo se debe a que, para mí, se supone que una implicación significa lo siguiente:

Si A es verdadero, sigue B?

Así, si asumimos que A es Falso y al mismo tiempo preguntamos "si $A$ entonces $B$ entonces la contradicción que afirmo se sigue naturalmente.

Supongo que ese es el quid de mi pregunta. ¿Es eso correcto? ¿O es solo un detalle psicológico/filosófico en lugar de uno puramente matemático?

bof

No entiendo qué necesita ser justificado y por qué. ¿Está diciendo que los lógicos necesitan justificar la definición de una función de verdad que toma el valor falso cuando el primer argumento es verdadero y el segundo es falso y toma el valor verdadero en todos los demás casos? ¿O estás diciendo que tienen que justificar el uso de la palabra "implicación" como el nombre de esa función? ¿Qué nombre crees que sería más apropiado?

charlie parker

lo que estoy preguntando es si la forma en que propuse usar el principio de explosión para justificar las dos últimas líneas de la verdad funcional es apropiada o si es incorrecta de todos modos. Estoy buscando ayuda de los lógicos. Verifique mi adición a mi pregunta, espero que aclare las cosas. Mi confusión es si esa equivalencia que escribí es válida o no. Espero que tenga sentido. Esencialmente, me pregunto si usar el principio de explosión es válido en absoluto.

bof

Todavía no entiendo de qué tipo de "justificación" estás hablando. Hay 16 funciones booleanas diferentes de dos variables. ¿Por qué necesitamos "justificar" la definición de los 16? ¿Por qué la llamada "implicación" necesita más justificación que cualquiera de las otras?

ian

Para mí la razón de ser

p \Rightarrow q

$p \Rightarrow q$ viene en lógica de predicados. cuando miramos

\forall x (P (x) \Rightarrow Q (x))

$\forall x (P(x) \Rightarrow Q(x))$ , tenemos que definir el valor de verdad de cada una de las proposiciones

P (x) \Rightarrow Q (x)

$P(x) \Rightarrow Q(x)$ . Pero el

x

$x$ es tal que

\neg P (x)

$\neg P(x)$ no debería tener nada que ver con esto, así que

\neg P (x)

$\neg P(x)$ tiene que implicar que

P (x) \Rightarrow Q (x)

$P(x) \Rightarrow Q(x)$ es verdad. En la lógica clásica no hay alternativa para decir que

P (x) \Rightarrow Q (x)

$P(x) \Rightarrow Q(x)$ es "absurdo" o algo así, en lugar de ser verdadero o falso, por lo que el único camino a seguir es hacer que sea verdadero.

charlie parker

@bof no necesitamos justificar uno más que otros (ni estoy afirmando que lo hagamos). Solo estoy tratando de entender uno de ellos de acuerdo con mi pregunta anterior porque me preocupa que pueda estar usando un paso inválido en mi argumento. Si mi paso cuestionable hubiera ocurrido en otra tabla de verdad, podría haber escrito una pregunta para él.

ian

(Cont.) Esto es a pesar del hecho de que hace que ciertas oraciones que suenan ridículas sean técnicamente verdaderas.

charlie parker

@Ian que parece ser una paráfrasis de la "justificación de la promesa" de una implicación, con la que estoy de acuerdo y entiendo (creo). ¿Tengo razón al decir eso? Sin embargo, mi pregunta tiene más que ver con un paso específico en mi razonamiento que me preocupa.

Dan Christensen

Sí. Vea mis respuestas en math.stackexchange.com/questions/48161/… y math.stackexchange.com/questions/2596766/…

Dan Christensen

El principio de explosión se puede establecer de la siguiente manera: para cualquier proposición verdadera o falsa

A

$A$ y

B

$B$ , tenemos

\neg A ⟹ [A ⟹ B]

$\neg A \implies [A \implies B]$ . Y esto corresponde precisamente a las dos últimas entradas de la tabla de verdad para la implicación material. En palabras: De una falsedad, todas las cosas se siguen. Ver enlaces arriba.

charlie parker

@DanChristensen Veo que lo que escribiste es muy similar a lo que tenía en mente. Sin embargo, lo que tenía en mente era más como

\neg A \land (A ⟹ B)

$\neg A \wedge (A \implies B)$ si tenemos eso entonces

A ⟹ B

$A \implies B$ es verdad. Sin embargo, pareces tener una

⟹

$\implies$ preferible a

\land

$\wedge$ en tu razonamiento. ¿Porqué es eso?

Dan Christensen

@Pinocho Si tienes

P \land Q

$P \land Q$ , entonces, por supuesto, podríamos inferir que

Q

$Q$ . Eso es lo que estás diciendo aquí. Estoy diciendo que, si tenemos

\neg A

$\neg A$ , entonces podríamos inferir que

A ⟹ B

$A \implies B$ , independientemente de si

B

$B$ es verdadero o falso.

charlie parker

@DanChristensen Creo que una de mis principales confusiones es que no puedo distinguir cuál es la diferencia entre una implicación y la prueba de una implicación. Traté de modelar la "prueba de una implicación" como una máquina giratoria (TM) que recibe las declaraciones A y B. Lo que no entiendo bien es, cuando tal TM recibe A si al usar los símbolos, las reglas de procesamiento llegan a B, eso significa que "

A ⟹ B

$A \implies B$ "? O eso significa

B

$B$ ? ¿Cuál es la diferencia entre hacer la prueba de una implicación y una implicación en sí misma?

Dan Christensen

@Pinocchio En una prueba matemática, puede introducir una suposición (premisa)

A

$A$ . Usted está, en efecto, preguntando, "¿Qué pasa si A es verdadero?" Si posteriormente es capaz de derivar una declaración

B

$B$ sin introducir ninguna otra suposición, podría concluir que

A ⟹ B

$A \implies B$ . Esa es solo una forma de derivar esta implicación. A veces es más fácil demostrar

\neg B ⟹ \neg A

$\neg B\implies \neg A$ en cambio. Luego puede aplicar la regla contrapositiva y eliminar las dobles negaciones para obtener

A ⟹ B

$A\implies B$ . Además, si simplemente puede probar cualquiera

\neg A

$\neg A$ o

B

$B$ , entonces podrías inferir que

A ⟹ B

$A\implies B$ .

charlie parker

@DanChristensen aquí es donde surge mi pregunta nuevamente. Así que tengo razón, la definición de una implicación comienza asumiendo que su declaración de entrada A es Verdadera. Si así es como procede el "pensamiento computacional", entonces parece que mi principio de explosión es la forma correcta de pensar sobre esto. ¿O estoy equivocado?

Dan Christensen

@Pinocchio La tabla de verdad para la implicación material generalmente se ve como su definición formal. Las dos entradas de falsos antecedentes definen formalmente el Principio de Explosión. Toda la tabla de verdad puede en realidad derivarse de lo que llamo las Reglas de Deducción y Separación para la Implicación, asumiendo la Ley del Medio Excluido. (Consulte math.stackexchange.com/questions/2596766/… )

Respuestas (4)

¿Podemos usar el principio de explosión para justificar que la definición de implicación sea verdadera cuando el antecedente es falso?

No entiendo qué necesita ser justificado y por qué. ¿Está diciendo que los lógicos necesitan justificar la definición de una función de verdad que toma el valor falso cuando el primer argumento es verdadero y el segundo es falso y toma el valor verdadero en todos los demás casos? ¿O estás diciendo que tienen que justificar el uso de la palabra "implicación" como el nombre de esa función? ¿Qué nombre crees que sería más apropiado?
lo que estoy preguntando es si la forma en que propuse usar el principio de explosión para justificar las dos últimas líneas de la verdad funcional es apropiada o si es incorrecta de todos modos. Estoy buscando ayuda de los lógicos. Verifique mi adición a mi pregunta, espero que aclare las cosas. Mi confusión es si esa equivalencia que escribí es válida o no. Espero que tenga sentido. Esencialmente, me pregunto si usar el principio de explosión es válido en absoluto.
Todavía no entiendo de qué tipo de "justificación" estás hablando. Hay 16 funciones booleanas diferentes de dos variables. ¿Por qué necesitamos "justificar" la definición de los 16? ¿Por qué la llamada "implicación" necesita más justificación que cualquiera de las otras?
Para mí la razón de ser $p \Rightarrow q$ viene en lógica de predicados. cuando miramos $\forall x (P(x) \Rightarrow Q(x))$ , tenemos que definir el valor de verdad de cada una de las proposiciones $P(x) \Rightarrow Q(x)$ . Pero el $x$ es tal que $\neg P(x)$ no debería tener nada que ver con esto, así que $\neg P(x)$ tiene que implicar que $P(x) \Rightarrow Q(x)$ es verdad. En la lógica clásica no hay alternativa para decir que $P(x) \Rightarrow Q(x)$ es "absurdo" o algo así, en lugar de ser verdadero o falso, por lo que el único camino a seguir es hacer que sea verdadero.
@bof no necesitamos justificar uno más que otros (ni estoy afirmando que lo hagamos). Solo estoy tratando de entender uno de ellos de acuerdo con mi pregunta anterior porque me preocupa que pueda estar usando un paso inválido en mi argumento. Si mi paso cuestionable hubiera ocurrido en otra tabla de verdad, podría haber escrito una pregunta para él.
(Cont.) Esto es a pesar del hecho de que hace que ciertas oraciones que suenan ridículas sean técnicamente verdaderas.
@Ian que parece ser una paráfrasis de la "justificación de la promesa" de una implicación, con la que estoy de acuerdo y entiendo (creo). ¿Tengo razón al decir eso? Sin embargo, mi pregunta tiene más que ver con un paso específico en mi razonamiento que me preocupa.
Sí. Vea mis respuestas en math.stackexchange.com/questions/48161/… y math.stackexchange.com/questions/2596766/…
El principio de explosión se puede establecer de la siguiente manera: para cualquier proposición verdadera o falsa $A$ y $B$ , tenemos $\neg A \implies [A \implies B]$ . Y esto corresponde precisamente a las dos últimas entradas de la tabla de verdad para la implicación material. En palabras: De una falsedad, todas las cosas se siguen. Ver enlaces arriba.
@DanChristensen Veo que lo que escribiste es muy similar a lo que tenía en mente. Sin embargo, lo que tenía en mente era más como $\neg A \wedge (A \implies B)$ si tenemos eso entonces $A \implies B$ es verdad. Sin embargo, pareces tener una $\implies$ preferible a $\wedge$ en tu razonamiento. ¿Porqué es eso?
@Pinocho Si tienes $P \land Q$ , entonces, por supuesto, podríamos inferir que $Q$ . Eso es lo que estás diciendo aquí. Estoy diciendo que, si tenemos $\neg A$ , entonces podríamos inferir que $A \implies B$ , independientemente de si $B$ es verdadero o falso.
@DanChristensen Creo que una de mis principales confusiones es que no puedo distinguir cuál es la diferencia entre una implicación y la prueba de una implicación. Traté de modelar la "prueba de una implicación" como una máquina giratoria (TM) que recibe las declaraciones A y B. Lo que no entiendo bien es, cuando tal TM recibe A si al usar los símbolos, las reglas de procesamiento llegan a B, eso significa que " $A \implies B$ "? O eso significa $B$ ? ¿Cuál es la diferencia entre hacer la prueba de una implicación y una implicación en sí misma?
@Pinocchio En una prueba matemática, puede introducir una suposición (premisa) $A$ . Usted está, en efecto, preguntando, "¿Qué pasa si A es verdadero?" Si posteriormente es capaz de derivar una declaración $B$ sin introducir ninguna otra suposición, podría concluir que $A \implies B$ . Esa es solo una forma de derivar esta implicación. A veces es más fácil demostrar $\neg B\implies \neg A$ en cambio. Luego puede aplicar la regla contrapositiva y eliminar las dobles negaciones para obtener $A\implies B$ . Además, si simplemente puede probar cualquiera $\neg A$ o $B$ , entonces podrías inferir que $A\implies B$ .
@DanChristensen aquí es donde surge mi pregunta nuevamente. Así que tengo razón, la definición de una implicación comienza asumiendo que su declaración de entrada A es Verdadera. Si así es como procede el "pensamiento computacional", entonces parece que mi principio de explosión es la forma correcta de pensar sobre esto. ¿O estoy equivocado?
@Pinocchio La tabla de verdad para la implicación material generalmente se ve como su definición formal. Las dos entradas de falsos antecedentes definen formalmente el Principio de Explosión. Toda la tabla de verdad puede en realidad derivarse de lo que llamo las Reglas de Deducción y Separación para la Implicación, asumiendo la Ley del Medio Excluido. (Consulte math.stackexchange.com/questions/2596766/… )

Yuan Qiaochu · Answer 1

Yuan Qiaochu

Sí, puedes pensar que esto proviene del principio de explosión.

Prefiero pensarlo de esta manera: $A \Rightarrow B$ significa que en todos los casos en que $A$ es verdad, $B$ también es cierto (Esta definición tiene más peso una vez $A$ y $B$ tienen parámetros no vinculados en ellos y no son solo proposiciones individuales.) Para verificar si $A \Rightarrow B$ , miras todos los casos en los que $A$ es cierto para comprobar si $B$ también es cierto en esos casos. Así que si $A$ es simplemente falso, no hay casos que deban verificarse, lo que hace que la implicación sea vagamente verdadera .

charlie parker

esa es una perspectiva interesante. Tiene sentido verificar si B se sigue si A es verdadera. Sin embargo, supongo que lo poco que parece faltar es que sí, si A es falso, no hay nada que verificar que tenga 100 % de sentido, pero lo que no tiene sentido para mí (sin el principio de explosión) es por qué nosotros. d asignar a esas instancias el valor "Verdadero". Supongo que el hecho de que no estoy muy seguro es por qué "no verificar" se traduce como "Verdadero" para usted. También podría haber dicho ok, por defecto es False, así que no necesitamos verificarlo porque ya sabemos cuál es el valor predeterminado. ¿O me perdí algo?

Yuan Qiaochu

@Pinocchio: aquí hay una pregunta estrechamente relacionada. ¿Qué es el AND de las sentencias cero? Afirmo que es VERDADERO, y la razón es porque VERDADERO es el elemento de identidad de Y. Queremos que sea cierto que si toma una colección de sentencias AND juntas, y AND con otra colección de sentencias AND juntas, el resultado es el AND de todas las sentencias juntas. Si una de las colecciones está vacía, esto obliga a que las declaraciones AND de cero sean verdaderas. Argumentos similares establecen que la suma de cero números es

0

$0$ y el producto de cero numeros es

1

$1$ (por eso

a^{0} = 1

$a^0 = 1$ ).

Yuan Qiaochu

La razón por la que esta pregunta está estrechamente relacionada es que puedes pensar en

A \Rightarrow B

$A \Rightarrow B$ como (potencialmente infinito) Y: "

B

$B$ es cierto en este caso (donde

A

$A$ es cierto) Y

B

$B$ es cierto en este caso (donde

A

$A$ es cierto) Y..." (También tengo una intuición teórica de categorías escondida en el fondo aquí que puedo hacer explícita si lo desea, pero espero que sea abrumadora y no útil).

Derek Elkins dejó SE

Para lanzarse y tirar un poco una llave inglesa en los engranajes, desde una perspectiva teórica establecida, "para todos los casos en los que

A

$A$ es verdad,

B

$B$ es verdad" significaría

\forall x \in [[A]] . x \in [[B]]

$\forall x\in[\![A]\!].x\in[\![B]\!]$ que es la abreviatura de

\forall x . x \in [[A]] \Rightarrow x \in [[B]]

$\forall x.x\in[\![A]\!]\Rightarrow x\in[\![B]\!]$ y si no hay casos en que

A

$A$ es cierto, entonces estamos justo donde empezamos.

Yuan Qiaochu

@Derek: no, hemos reducido la pregunta a una pregunta diferente, que es: ¿cuál es el valor de verdad de un cuantificador universal si el dominio de cuantificación está vacío?

Derek Elkins dejó SE

@QiaochuYuan Estoy de acuerdo, por eso agregué "desde una perspectiva de teoría de conjuntos". A menudo se toma como axiomático que el dominio de la cuantificación no está vacío. Sin embargo, si va a adoptar este enfoque, no puede usar un enfoque semántico (o al menos una semántica tradicional de teoría de conjuntos) para justificar su comprensión de la cuantificación, ya que eso produce exactamente lo que dije. Sin embargo, para un dominio finito, definitivamente puede usar su argumento basado en la conjunción, aunque eso sugiere "naturalidad" más que necesidad. (Por supuesto, si usa semántica categórica , la imagen cambia).

charlie parker

@QiaochuYuan no dude en incluir la teoría de la categoría (intuición). Estoy bien con el aprendizaje de lo que sea necesario, para conseguir esto. Además, tu discusión con Derek realmente no tenía sentido para mí...

Yuan Qiaochu

@Pinocchio: la versión más simple de la idea es esta. Podemos interpretar los subconjuntos de un conjunto

X

$X$ como proposiciones, donde

A \Rightarrow B

$A \Rightarrow B$ medio

A

$A$ está contenido en

B

$B$ ; intuitivamente

X

$X$ es todos los posibles estados del mundo, y una proposición corresponde al subconjunto de posibles estados del mundo donde es verdadera. Hay dos subconjuntos especiales, a saber, todos los

X

$X$ y el conjunto vacío: estos corresponden a VERDADERO y FALSO, porque VERDADERO siempre es verdadero y FALSO nunca es verdadero. Ahora observe que el conjunto vacío es un subconjunto de todos los conjuntos, por lo que FALSO implica todo. Esto hace que FALSO sea un caso especial...

Yuan Qiaochu

...de lo que en teoría de categorías se denomina objeto inicial. Dualmente, todo implica VERDADERO; esto hace VERDADERO lo que se llama un objeto terminal. Para obtener más información en este sentido, consulte qchu.wordpress.com/2013/12/10/… .

Derek Elkins dejó SE · Answer 2

$A\Rightarrow B$ dónde $A$ y $B$ son fórmulas es una pieza de sintaxis, es decir, símbolos en una página (o supongo que "pantalla" sería más contemporáneo). Cuando hablamos de "tablas de verdad", estamos interpretando esta sintaxis. Para la lógica proposicional clásica, esta interpretación asigna fórmulas a un conjunto de dos elementos. A menudo, los dos elementos se denominan "verdad" y "falsedad", pero pueden ser dos cosas cualquiera, por ejemplo, las palabras "perro" y "gato". voy a usar $0$ y $1$ . Escribiré $[\![P]\!]$ para la interpretación de la fórmula $P$ . Como parte de nuestra definición de interpretación, requerimos que $[\![A\Rightarrow B]\!]=[\![\Rightarrow]\!]([\![A]\!],[\![B]\!])$ dónde $[\![\Rightarrow]\!]$ es una función binaria del conjunto de dos elementos al conjunto de dos elementos. Esta función es lo que normalmente se conoce como la "tabla de verdad" para $\Rightarrow$ . Nótese que a esta función no se le dan las fórmulas $A$ y $B$ , sólo sus interpretaciones que son elementos de ese conjunto de dos elementos, es decir $0$ o $1$ con mi elección.

Así que es la función de interpretación, $[\![-]\!]$ , que "descubre" si una fórmula es "verdadera" o no. Por supuesto, eso tampoco es del todo cierto. En cambio, la función de interpretación le pasa la responsabilidad a usted. La función de interpretación suele parametrizarse mediante una asignación de $0$ y $1$ a las variables de la proposición. La función de interpretación puede decirle si $\ulcorner\text{it is raining}\urcorner\Rightarrow\ulcorner\text{the ground is wet}\urcorner$ , pero solo después de decirle si está lloviendo y si el suelo está mojado.

En este punto podrías, como han hecho algunos, simplemente decir que $[\![\Rightarrow]\!]$ es una de las 16 funciones "booleanas" posibles y acabamos de darle este nombre. En ese momento, puede argumentar que alguna otra función "booleana" debería tener este nombre (que generalmente no es el argumento), o debe argumentar en contra de esta noción de interpretación por completo. (O, por supuesto, no podrías discutirlo y aceptarlo).

Hay otro enfoque para comprender la lógica, y aquí es donde viven las reglas de inferencia como el principio de explosión. Aquí, en lugar de interpretar fórmulas en algunos objetos matemáticos y decir que ciertas interpretaciones corresponden a la "verdad", un enfoque semántico, combinamos usos de reglas para hacer pruebas (formales) y decir que lo que es "verdadero" es lo que es demostrable. Ya sea que se derive de otras reglas o se suponga, el principio de explosión simplemente establece que $\bot\Rightarrow A$ es demostrable para todas las fórmulas $A$ donde escribo $\bot$ para el conectivo lógico nulo que representa "falsedad". A menudo algo como $(B\land\neg B)\Rightarrow A$ se utiliza en su lugar.

Para la lógica proposicional clásica, tenemos teoremas de solidez y completitud que establecen, dadas las reglas de la lógica proposicional clásica (o cualquier conjunto equivalente de reglas), la noción de "verdad" sintáctica, es decir, la demostrabilidad, coincide con la noción de "verdad" semántica. es decir, una interpretación con valor $1$ . Esto significa que el principio de que la explosión es derivable es lo mismo que $[\![\Rightarrow]\!](0,x) = 1$ para todos $x$ . Entonces, con los teoremas de solidez y completitud (o incluso solo el teorema de solidez), el principio de explosión implica el comportamiento de $[\![\Rightarrow]\!]$ que estás hablando.

Como epílogo, hay muchas cosas que podemos cambiar para obtener un resultado diferente. Hay muchas otras semánticas no clásicas y lógicas no clásicas correspondientes, aunque generalmente admiten el "principio de explosión", pero la semántica de eso puede ser más convincente que las "tablas de verdad". Incluso apegados a la lógica clásica, hay otras semánticas para otras lógicas clásicas que pueden ser más convincentes. Se puede considerar que la respuesta de Qiaochu Yuan habla de la semántica de la lógica clásica de predicados . Allí, la semántica del principio de explosión es que el conjunto vacío es el subconjunto de cualquier conjunto, es decir $\emptyset\subseteq X$ para todos $X$ . Esto puede parecer más convincente que una asignación aparentemente arbitraria de resultados en una "tabla de verdad". También hay lógicas que no tienen el principio de explosión, las llamadas lógicas paraconsistentes, que necesariamente tienen una noción diferente de interpretación, aunque puede ser bastante similar (o muy diferente).

Perdona por ser denso, pero ¿puedes hacer explícito cómo los teoremas de solidez y completitud hacen que el $[\![\Rightarrow]\!](0,x) = 1$ para todos $x$ ? Además, ¿qué es $x$ ? es $x$ el valor interpretado de $x$ (es decir, asignado a $0$ o $1$ ?) o lo que es $x$ ? Supongo que simplemente no veo cómo el principio de explosión entra en tu respuesta, aunque estoy tratando de entender ...
$x$ es cualquiera $0$ o $1$ en el caso de una semántica en funciones booleanas. El principio de explosión es el axioma $\bot\Rightarrow A$ para todas las fórmulas $A$ . Como es demostrable, la solidez dice $[\![\bot\Rightarrow A]\!]=1$ . Entonces $[\![\Rightarrow]\!]([\![\bot]\!],[\![A]\!])=1$ para todas las fórmulas $A$ y $[\![\bot]\!]=0$ por definición (o solidez). Esto da $[\![\Rightarrow]\!](0,[\![A]\!])=1$ para todas las fórmulas $A$ . En este caso, definitivamente hay una fórmula. $A$ que corresponde a los dos $0$ y $1$ de ahí el "para todos $x$ ". La integridad no es tan directamente relevante aquí.

Pedro Smith · Answer 3

La pregunta del OP en un momento parece ser: asumiendo que el condicional tiene una tabla de verdad, asumiendo que es una función booleana, ¿cuál debería ser su tabla?

Con esa suposición, hay argumentos simples y convincentes para la tabla habitual, y ciertamente no necesitamos enredarnos con explosión (podemos hacerlo, pero no es la forma más simple de hacerlo).

He aquí un argumento que debería ser familiar.

En cualquier vista $(P \land Q) \to P$ necesita salir como una verdad lógica. Si $\to$ es booleano, eso significa que debe ser una tautología.

Pero claro, el antecedente y el consecuente de esta tautología $(P \land Q) \to P$ puede tener cualquiera de los valores, TT, FT, FF, mientras que todo este condicional es siempre T. Eso nos obliga a fijar el valor de la tabla de verdad para el conectivo condicional $\to$ como T en las líneas TT, FT, FF de su tabla de verdad.

La cuarta línea de la tabla para $\to$ es, por supuesto, dictada por la trivialidad de que un TF condicional es F.

Fin de la historia. Realmente no hay nada que debatir sobre qué función de verdad es mínimamente condicional ( es trivial que ningún otro candidato se le acerque). La pregunta difícil, por supuesto, es si el condicional del lenguaje ordinario (singular, indicativo) es de hecho veritativo o booleano.

Por fuertes razones para suponer que no es veritativo-funcional, véase, por ejemplo, aquí . Aunque probablemente a los matemáticos no debería importarles demasiado. Después de todo, Frege (re)introdujo bastante explícitamente el condicional funcional de verdad en la lógica como un sustituto o reemplazo muy ordenado, bien educado y bien entendido del desordenado condicional vernáculo, un sustituto que funciona lo suficientemente bien para propósitos matemáticos . Entonces, ¿por qué no contentarse con eso?

Perdón por ser denso Peter, pero no entendí tu tercer párrafo. ¿Por qué solo está considerando TT, FT, FF y no TF? ¿Qué quieres decir con "siempre-T condicional"? Debería ser obvio que no entendí tu respuesta. Lo siento. :(
Gracias por reformular, ahora entiendo. Sin embargo, lo que todavía me parece que falta en la respuesta (en la parte que resaltaste, ¡eso ayudó mucho!), ¿Por qué lo asignarías a T? Supongo que no estoy muy seguro de qué tiene de malo debatirlo. Pero quizás una pregunta más importante es, ¿por qué está considerando $(P \wedge Q) \implies P$ y no $P \implies Q$ ? ¿Cuál es el propósito de introducir el operador AND en su respuesta? ¡Gracias por su paciencia! Sé que esto se siente como si estuviéramos golpeando a un caballo muerto, pero cuando vi el principio de explosión para justificar esto, ¡solo tuve que preguntar qué estaba pasando!
Simplemente estamos preguntando: ¿qué significa la tabla de verdad para un funcional de verdad? $\to$ TIENES que parecer para hacer $(P \land Q) \to P$ una tautología? Es tan básico como eso.
Perdón por ser denso :(, pero simplemente no entiendo la motivación para hacer eso ni lo que se logra al hacerlo.

usuario14972 · Answer 4

Permítanme introducir una notación. Si $\Gamma$ es una lista (posiblemente vacía) de fórmulas lógicas y $P$ es una fórmula lógica, entonces la notación

Γ ⊢ PAG

$\Gamma \vdash P$

es la afirmación de que "existe una prueba de $P$ de las hipótesis $\Gamma$ ". Por ejemplo,

PAG, q ⊢ PAG \land q

$P, Q \vdash P \wedge Q$

Axiomas de Peano, 2 X = 4 ⊢ X = 2

$\text{Peano's Axioms}, 2x=4 \vdash x = 2$

Una de las formas de caracterizar la implicación es:

Teorema Para cualquier lista de fórmulas $\Gamma$ y cualquier formula $P,Q$ , los siguientes son equivalentes:

$\Gamma \vdash P \to Q$

$\Gamma, P \vdash Q$

Entonces, comenzando con las hipótesis en $\Gamma$ , una prueba de $P \to Q$ se puede construir exactamente como dijiste:

Empiezas por incluir $P$ en tus hipótesis
tu pruebas $Q$
Usted invoca el teorema anterior

si puedes probar $\neg P$ , o más generalmente, $\Gamma \vdash \neg P$ , entonces puede hacer el paso dos anterior exactamente como sugiere:

$P$
$\neg P$
$\therefore Q$

Todo lo anterior está hablando de demostrabilidad. Sin embargo, uno de los teoremas básicos de la lógica de primer orden es el siguiente.

Una valoración de verdad es una función $v$ que asigna "verdadero" y "falso" a todas las fórmulas de una manera que satisface propiedades obvias como

v (PAG \land q) = F_{C o norte j tu norte C t i o norte} (v (PAG), v (q))

$v(P \wedge Q) = f_{\mathrm{conjunction}}(v(P), v(Q))$

Entonces nosotros tenemos

Teorema : Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

$\Gamma \vdash P$

Toda valoración de verdad con la propiedad de que $v(Q) = \mathrm{true}$ para cada $Q \in \Gamma$ también tiene la propiedad de que $v(P) = \mathrm{true}$

Entonces, como lo ha hecho, puede usar las reglas de inferencia para determinar cuál debe ser la tabla de verdad para la implicación (y los otros conectores lógicos).

¿Podemos usar el principio de explosión para justificar que la definición de implicación sea verdadera cuando el antecedente es falso?

charlie parker

bof

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ian

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Dan Christensen

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Respuestas (4)

Yuan Qiaochu

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Derek Elkins dejó SE

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Pedro Smith

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