¿Contiene ππ\pi todas las combinaciones posibles de números?

No es cierto que un decimal infinito y no periódico deba contener 'todas las combinaciones de números posibles'. el decimal$0.011000111100000111111\dots$es un contraejemplo fácil. Sin embargo, si la expansión decimal de$\pi$contiene cada posible cadena finita de dígitos, lo que parece bastante probable, entonces el resto de la afirmación es correcta. Por supuesto, en ese caso también contiene equivalentes numéricos de cada libro que nunca se escribirá, entre otras cosas.

Permítanme resumir las cosas que se han dicho que son ciertas y agregar una cosa más.

1. $\pi$No se sabe que tenga esta propiedad, pero se espera que sea cierta.
2. Esta propiedad no se sigue del hecho de que la expansión decimal de$\pi$es infinito y no se repite.

Una cosa más es la siguiente. La afirmación de que la respuesta a todas las preguntas que posiblemente desee formular está contenida en algún lugar de los dígitos de$\pi$Puede ser cierto, pero es inútil. Aquí hay una cadena que puede aclarar este punto: simplemente encadene todas las oraciones posibles en inglés, primero por longitud y luego por orden alfabético. La cadena resultante contiene la respuesta a todas las preguntas que posiblemente desee hacer, pero

• la mayor parte de lo que contiene es basura,
• no tienes forma de saber qué es y qué no es basura a priori , y
• la única forma de referirse a una parte de la cadena que no es basura es describir su posición en la cadena, y los bits necesarios para hacer esto constituyen una (terrible) codificación de la cadena. Por lo tanto, encontrar esta ubicación es exactamente tan difícil como encontrar la cadena en sí (es decir, encontrar la respuesta a cualquier pregunta que quisiera hacer).

En otras palabras, una cadena que contiene todo no contiene nada. La comunicación útil es útil por lo que no contiene.

Debe tener en cuenta todo lo anterior y luego leer La biblioteca de Babel de Jorge Luis Borges . (Una biblioteca que contiene todos los libros no contiene libros).

Se cree ampliamente que$\pi$es un número normal . Esto (o incluso la propiedad más débil de ser disyuntiva ) implica que cada cadena posible ocurre en algún lugar de su expansión.

Así que sí, tiene la historia de tu vida, pero también tiene muchas historias falsas, muchas declaraciones sutilmente incorrectas y muchas tonterías.

Según Mathematica , cuando$\pi$se expresa en base 128 (cuyos dígitos, por lo tanto, pueden interpretarse como caracteres ASCII),

• "NO" aparece en la posición 702;

• Aparece "Sí" en la posición 303351.

Dado (siguiendo a Feynman en sus Lectures on Physics ) que cualquier pregunta$A$con posible respuesta$A'$(correcto o no) se puede volver a expresar en la forma "Is$A'$una respuesta correcta a$A$?", y que tales preguntas tienen respuestas de "no" o "sí", esto prueba la segunda oración de la afirmación , y muestra cuán vacía es la afirmación. (Como otros han señalado, la primera oración, dependiendo en su interpretación, es incorrecta o tiene un valor de verdad desconocido).

Código

pNO = FromCharacterCode[RealDigits[\[Pi], 128, 710]];
pYes = FromCharacterCode[RealDigits[\[Pi], 128, 303400]];
{StringPosition[pNO, "NO"], StringPosition[pYes, "Yes"]}

{{{{702, 703}}, {}}, {{{303351, 303353}}, {}}}

Esta es una pregunta abierta. Aún no se sabe si$\pi$es un número normal.

http://mathworld.wolfram.com/NormalNumber.html

Sea cierto o no, es absolutamente inútil.

Imagina encontrar la historia de tu vida: un recuento impecable y copiosamente documentado de todos los días de tu vida... hasta ayer, donde dice que moriste y de repente vuelve a ser un galimatías. Si pi realmente contiene todas las cadenas posibles, entonces esa historia también está ahí. Ahora, imagina si dijera que mueres mañana. ¿Lo creerías o seguirías buscando la próxima copia de la historia de tu vida?

El problema es que no hay estructura en la información. Se necesitaría un esfuerzo hercúleo para procesar todos esos datos para llegar a la sección "correcta", y una inmensa sabiduría para reconocerla como correcta. Entonces, si estaba pensando en usar pi como un oráculo para determinar estas cosas, también podría contar cada uno de los átomos que componen el planeta Tierra. Eso debería servir como un buen calentamiento.

En general, no es cierto que un "decimal infinito que no se repite" contenga alguna secuencia. Considere por ejemplo el número$0.01001000100001000001000000100000001...$.

Sin embargo, no se sabe si$\pi$contiene todas las secuencias.

Esto es falso. Reclamo: infinito y no repetitivo, por lo tanto, debe tener TODAS las combinaciones.

Contraejemplo: 01001100011100001111... Esto es infinito y no se repite, pero no tiene todas las combinaciones.

El hecho de que algo sea infinito y no se repita no significa que tenga todas las combinaciones.

De hecho, Pi puede tener todas las combinaciones, pero no puede usar esta afirmación para decir que las tiene.

Desafío aceptado. En el siguiente archivo se encuentran los primeros 1 048 576 dígitos (1 Megabyte) de pi (incluidos los 3 principales) convertidos a ANSI (con la ayuda del algoritmo descrito en https://stackoverflow.com/questions/12991606/ ):

https://docs.google.com/file/d/0B9plORbvSu2ra1Atc0QwOGhYZms/editar

E incluso si su afirmación es cierta con$\pi$, no hace$\pi$especial. Si acertamos un número real al azar, con probabilidad$1$vamos a golpear un número normal. Eso es "casi todo" el número real es así. El conjunto de números no normales tiene la medida de Lebesgue cero.

Creo que la declaración podría redactarse con mayor precisión. Dada la suposición razonable de que PI es infinitamente no repetitivo, no se sigue que en realidad incluya una secuencia en particular.

Toma este experimento mental como una analogía. Imagina que tienes que sentarte en una habitación por toda la eternidad diciendo palabras, sin que nunca pronuncies la misma palabra dos veces. Muy pronto te encontrarías diciendo palabras muy largas. Pero no hay ninguna razón lógica por la que debas usar primero todas las palabras cortas posibles. De hecho, podría excluir sistemáticamente las palabras "sí" o cada palabra que contenga la letra "y", o cualquier otro subconjunto arbitrario del conjunto infinito de palabras posibles.

Lo mismo ocurre con las secuencias de dígitos en PI. Es muy probable que se pueda encontrar cualquier secuencia concebible en PI si calcula durante el tiempo suficiente, pero las condiciones prescritas no lo garantizan.

Esa imagen contiene una serie de errores fácticos, pero el más importante es la afirmación engañosa de que la irracionalidad implica disyuntividad.

Uno puede construir fácilmente un número irracional no disyuntivo. Dejar$r = \sum\limits_{n = 0}^\infty 2^{-n} \begin{cases} 1 & \text{if } 2 | n \\ s_n & \text{else} \end{cases}$para cualquier secuencia no periódica$s_n \in \{0,1\}$.

No se sabe si$\pi$es, de hecho, disyuntiva (o incluso normal).