Sobre algunas conjeturas sobre repunits

Mientras investigaba el tema de los números de Descartes , me encontré con el siguiente subproblema aparentemente relacionado:

PROBLEMA: Determinar las condiciones en$n$tal que

$$\frac{{10}^n - 1}{9}$$ es cuadrado.

MI INTENTO

Colocar

$$m := \frac{{10}^n - 1}{9}.$$

(Tenga en cuenta que$m$se llama repunit . La búsqueda de la palabra clave "squarefree" en esta página de Wikipedia no arrojó ningún resultado).

Me di cuenta que$m$es libre de cuadrados para$n = 1$.

Entonces deja$n > 1$. También observé que, por$n \geq 2$, en realidad tenemos

$$m \equiv 3 \pmod 4,$$ de modo que$m$no es un cuadrado .

A continuación, consideré las factorizaciones primas de$m$por la primera docena$n \neq 1$:

$$\begin{array}{c|c|c|} \text{Value of } n &\text{Repunit } m & \text{Prime Factorization of } m \\ \hline 2 & 11 & 11 \\ \hline 3 & 111 & 3 \times 37 \\ \hline 4 & 1111 & 11 \times 101 \\ \hline 5 & 11111 & 41 \times 271 \\ \hline 6 & 111111 & 3 \times 7 \times 11 \times 13 \times 37 \\ \hline 7 &1111111 & 239 \times 4649 \\ \hline 8 & 11111111 & 11 \times 73 \times 101 \times 137 \\ \hline 9 & 111111111 & 3^2 \times 37 \times 333667 \\ \hline 10 & 1111111111 & 11 \times 41 \times 271 \times 9091 \\ \hline 11 & 11111111111 & 21649 \times 513239 \\ \hline 12 & 111111111111 & 3 \times 7 \times 11 \times 13 \times 37 \times 101 \times 9901 \\ \hline 13 & 1111111111111 & 53 \times 79 \times 265371653 \\ \hline \end{array}$$

A partir de esta muestra de datos inicial, predigo la verdad de las siguientes conjeturas:

• CONJETURA 1: Si$n \equiv 0 \pmod 6$, entonces$m$es cuadrado.
• CONJETURA 2: Si$n \equiv 0 \pmod 6$, entonces$\bigg(3 \times 7 \times {11} \times {13} \times {37}\bigg) \mid m$.
• CONJETURA 3: Si$n \equiv 0 \pmod 3$, entonces$\bigg(3 \times {37}\bigg) \mid m$.

Revisé la secuencia OEIS A002275 y no encontré ninguna referencia a estas conjeturas.

RESOLVIENDO LA CONJETURA 1

Busqué contraejemplos para la Conjetura 1 usando Pari-GP en Sage Cell Server , obtuve el siguiente resultado en el rango$n \leq 50$:

18[3, 2; 7, 1; 11, 1; 13, 1; 19, 1; 37, 1; 52579, 1; 333667, 1]
36[3, 2; 7, 1; 11, 1; 13, 1; 19, 1; 37, 1; 101, 1; 9901, 1; 52579, 1; 333667, 1; 999999000001, 1]
42[3, 1; 7, 2; 11, 1; 13, 1; 37, 1; 43, 1; 127, 1; 239, 1; 1933, 1; 2689, 1; 4649, 1; 459691, 1; 909091, 1; 10838689, 1]

Esta salida significa que

• $\dfrac{{10}^{18} - 1}{9}$es divisible por$3^2$.
• $\dfrac{{10}^{36} - 1}{9}$es divisible por$3^2$.
• $\dfrac{{10}^{42} - 1}{9}$es divisible por$7^2$.

Por lo tanto, concluyo que la Conjetura 1 es falsa .

MI INTENTO DE RESOLVER LA CONJETURA 2

Busqué contraejemplos para la Conjetura 2 usando Pari-GP en Sage Cell Server , obtuve una salida en blanco en el rango$n \leq {10}^5$.

El intérprete Pari-GP de Sage Cell Server falla tan pronto como se alcanza un límite de búsqueda de${10}^6$está especificado.

Esto da más evidencia computacional para la Conjetura 2 .

MI INTENTO DE RESOLVER LA CONJETURA 3

Busqué contraejemplos para la Conjetura 3 usando Pari-GP en Sage Cell Server , obtuve una salida en blanco en el rango$n \leq {10}^5$.

El intérprete Pari-GP de Sage Cell Server falla tan pronto como se alcanza un límite de búsqueda de${10}^6$está especificado.

Esto da más evidencia computacional para la Conjetura 3 .

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Por desgracia, aquí me quedo atascado, ya que actualmente no sé cómo probar las conjeturas 2 y 3.

CONSULTA

Dado que la Conjetura 1 es falsa, ¿conoce o puede probar una (n) condición de congruencia (incondicional) en$n$lo que garantiza que la repunit$m$es libre de cuadrados?