Ejemplos de r2√r2r^{\sqrt{2}} como número irracional, para números reales 0 <10 <10 <1

Después de leer esta pregunta en este Intercambio de pila de matemáticas, y probé algunos cálculos fallidos, escribí en la calculadora en línea Wolfram Alpha el código (sqrt(2)/2)^sqrt(2) para obtener como salida que también este número es trascendente y, por lo tanto, irracional.

Antes de este cálculo con Wolfram Alpha, como digo era una curiosidad que me preguntaba si es posible deducir o se conocen algunos casos por los cuales se puede afirmar que$r^{\sqrt{2}}$es irracional, cuando

$$0<r<1$$ es un número real. Los únicos cálculos que hice fueron, asumiendo que $p$y $q$son enteros positivos con $\gcd(p,q)=1$, de $$r^{\sqrt{2}}=\frac{p}{q}$$ eso $$\sqrt{2}\log r=\log p-\log q.\tag{1}$$ tomando logaritmos. Y además si suponemos, por contradicción, que $\sqrt{2}$es un número racional, puedo escribir la condición $$\frac{P}{Q}\log r=\log p-\log q,\tag{2}$$ dónde $P$y $Q$son enteros positivos que satisfacen $\gcd(P,Q)=1$.

Pero$(1)$ni$(2)$no me digas nada

Pregunta. Imagina que un amigo me pide un razonamiento para obtener ejemplos de números irracionales de la forma

$$r^{\sqrt{2}},$$ cuando el numero real $r$corre en el set $0<r<1$. ¿Cuál es el razonamiento por el que debo decírselo a mi amigo? Si queremos crear ejemplos simples de números irracionales de la forma $r^{\sqrt{2}}$, ¿cuáles son los requisitos/condiciones simples que deben cumplirse con esos números reales? $0<r<1$? Por supuesto, si necesita teoremas del tipo del teorema de Gelfond-Schneider, o un enfoque diferente, puede combinarlos con estas declaraciones en su discusión para obtener algunos ejemplos usando un razonamiento matemático. Si conoces literatura, puedes consultarla. Gracias de antemano.