Número de dígitos en 8n8n8^n en base 666

Question

Número de dígitos en 8n8n8^n en base 666

Matemáticas
concurso-matematicas
divisibilidad
teoría de los números

Umesh shankar

Dejar $d(n)$ Sea el número de dígitos cuando $8^n$ esta escrito en base $6$ . Encuentre la expresión de forma cerrada para $d(n)$ .Probé algunos números:

8^{1} = 12

$8^1=12$

8^{2} = 144

$8^2=144$

8^{3} = 2212

$8^3=2212$ Entonces sentí que

d (n) = n

$d(n)=n$ . Pero para probarlo formalmente, probé con inducción. Dejar

d (n) = n

$d(n)=n$ , entonces nosotros tenemos

8^{norte} = a_{0} a_{1} a_{2} . . . . a_{norte - 1}, a_{i} \in {0, 1, 2, 3, 4, 5}, a_{0} \neq 0

$8^n=a_0a_1a_2....a_{n-1}, \: a_i \in \left\{0,1,2,3,4,5\right\}, \:a_0 \ne 0$ Ahora tenemos

8^{norte + 1} = 8^{norte} \times 12

$8^{n+1}=8^n \times 12$ Estoy atrapado aquí?

adán rubinson

Quieres decir que piensas eso

d (n) = n + 1

$d(n)=n+1$ ? Eso no es cierto, ya que

8^{20}

$8^{20}$ seguramente es mayor que

6^{21}

$6^{21}$ .

zwim

Pista; ¿Cuál es el número de dígitos de

6^{n}

$6^n$ Entonces, ¿cuál es el número de dígitos de

x

$x$ para

6^{n} \leq x < 6^{n + 1}

$6^n\le x<6^{n+1}$ ? ¿Puedes ver cómo usar

\log_{6} (x)

$\log_6(x)$ ?

sangre de pulga

Esa no es la respuesta y no funcionará.

8 = 6 + 2

$8 = 6 + 2$ entonces

8^{n} = (6 + 2)^{n} = 6^{n} + . . . .

$8^n = (6 + 2)^n = 6^n + ....$ términos inferiores. Ahora para valores pequeños de

n

$n$ esos términos inferiores son menores que

6^{n}

$6^n$ pero eventualmente crecerán y se los llevarán. ... o como tú lo pones

8^{n + 1} = 8^{n} \times 12 = 8^{n} \times 6 + 2 \times 8^{n}

$8^{n+1} = 8^n\times 12=8^n\times 6 + 2\times 8^n$ . Si

8^{n}

$8^n$ tiene

K

$K$ dígitos entonces

8^{n} \times 6

$8^n\times 6$ tendrá

K + 1

$K+1$ pero agregando

2 \times 8^{n}

$2\times 8^n$ eventualmente puede obligarlo a llevar a cabo en

K + 2

$K+2$ lugar.

sangre de pulga

Esto es equivalente a

12^{12} = 8, 916, 100, 448, 256

$12^{12} = 8,916,100,448,256$ tiene trece dígitos en base diez. pero cuando lo multiplicamos por

12

$12$ tenemos

12^{13} = 106, 993, 205, 379, 072

$12^{13}=106,993,205,379,072$ tiene quince dígitos. Tenga en cuenta el primer dígito de

8^{n}

$8^n$ sigue arrastrándose. Eventualmente se convertirá

5

$5$ y luego ....

Respuestas (3)

Número de dígitos en 8n8n8^n en base 666

Quieres decir que piensas eso $d(n)=n+1$ ? Eso no es cierto, ya que $8^{20}$ seguramente es mayor que $6^{21}$ .
Pista; ¿Cuál es el número de dígitos de $6^n$ Entonces, ¿cuál es el número de dígitos de $x$ para $6^n\le x<6^{n+1}$ ? ¿Puedes ver cómo usar $\log_6(x)$ ?
Esa no es la respuesta y no funcionará. $8 = 6 + 2$ entonces $8^n = (6 + 2)^n = 6^n + ....$ términos inferiores. Ahora para valores pequeños de $n$ esos términos inferiores son menores que $6^n$ pero eventualmente crecerán y se los llevarán. ... o como tú lo pones $8^{n+1} = 8^n\times 12=8^n\times 6 + 2\times 8^n$ . Si $8^n$ tiene $K$ dígitos entonces $8^n\times 6$ tendrá $K+1$ pero agregando $2\times 8^n$ eventualmente puede obligarlo a llevar a cabo en $K+2$ lugar.
Esto es equivalente a $12^{12} = 8,916,100,448,256$ tiene trece dígitos en base diez. pero cuando lo multiplicamos por $12$ tenemos $12^{13}=106,993,205,379,072$ tiene quince dígitos. Tenga en cuenta el primer dígito de $8^n$ sigue arrastrándose. Eventualmente se convertirá $5$ y luego ....

Asinomás · Answer 1

el número de dígitos de un número entero $a$ en base $b$ es $\lfloor\log_b(a)\rfloor+1$ (porque es constante en el intervalo $[b^k,b^{k+1})$ y salta $1$ en valores de la forma $b^k$ ).

Por lo tanto queremos $\lfloor\log_6(8^n)\rfloor+1= \lfloor n\log_6(8)\rfloor +1 = \lfloor n \frac{\ln(8)}{\ln{6}}\rfloor+1$

tenemos $\frac{\ln{8}}{\ln{6}}\approx 1.16055842$

adán rubinson · Answer 2

Pista: $8^n = 6^{(\log_6{8})n} = 6^{1.1605\ldots n}.$

Así por ejemplo, $8^{100} = 6^{116.05...},\$ por lo que este número tiene $117$ base de dígitos $6.$

sangre de pulga · Answer 3

$d(n) = n+1$ solo funciona para valores pequeños de $n$ . Tenga en cuenta que el primer dígito se está arrastrando hacia arriba eventualmente tendrá un $8^k = 5xxxx...x$ con $k+1$ dígitos pero $8^{k+1} = 1yxxxx....x$ con $k + 3$ dígitos

En efecto $8^6 = 5341344$ con $7$ dígitos y $8^7 = 112541012$ con $9$ dígitos

=====

Puedes pensar al revés . Si $8^n$ tiene $K$ dígitos entonces $8^n \ge {1\underbrace{000.....0}_K}_{base\ 6} =6^{K-1}$ y $8^n \le {\underbrace{5555.....5}_K}_{base\ 6}=6^{K}-1$ entonces $6^{K-1} \le 8^n < 6^K$ .

Así que resuelve para $K$

$\log_6 6^{K-1} \le \log_68^n < \log_6 6^K$

$K-1 \le n\cdot \log_6 8 < K$

$K-1 = \lfloor n\cdot \log_6 8 \rfloor$

$K = \lpiso n\cdot \log_6 8 \rpiso

Número de dígitos en 8n8n8^n en base 666

Umesh shankar

adán rubinson

zwim

sangre de pulga

sangre de pulga

Respuestas (3)

Asinomás

adán rubinson

sangre de pulga

Existencia de un subconjunto tal que el producto de sus elementos es un cuadrado perfecto

Probé algo mal. Si a y b son irracionales prueba que a + b es irracional o racional.

Demostrar que no existen PRIMOS EXTREMOS de 5 dígitos.

Sobre algunas conjeturas sobre repunits

Demuestre que (kn)!(kn)!(kn)! es divisible por (k!)n(k!)n(k!)^n

Pregunta modelo PRMO: "El mcm menor de 20 números naturales, no necesariamente diferentes, cuya suma es 413, es _________"

Conteo de números de 6 dígitos divisibles por 6 pero no por 9

¿Cuántos números enteros hay que no son divisibles por ningún primo mayor que 20 y que no son divisibles por el cuadrado de ningún primo?

Demostrar que existe un entero par al final

Un par de grandes preguntas sobre un problema de teoría de números