pequeñas distancias entre potencias de irracionales

Tenga en cuenta que tiene

$$d = \left|\sqrt{2}^m-\sqrt{3}^n\right| = \frac{\left|2^m - 3^n\right|}{\sqrt{2}^m + \sqrt{3}^n} \tag{1}\label{eq1A}$$

Como se indica cerca de la parte inferior de Diferencias entre potencias ,

De hecho, Tijdeman probó que existe un número$c \ge 1$tal que

$$\left|2^m - 3^n\right| \ge \frac{2^m}{m^c}$$

Además, una publicación estrechamente relacionada es$\liminf |2^m - 3^n|$. Su respuesta aceptada usa el teorema de Baker para mostrar que

$|2^m-3^n|/m>2^m\cdot c'\cdot m^{-C}$

lo cual es muy similar a lo que determinó Tijdeman.

Ya que estás buscando$d$en$\eqref{eq1A}$ser muy pequeño, deja

$$\sqrt{3}^n = (1 + \epsilon)\sqrt{2}^m \tag{2}\label{eq2A}$$

dónde$\epsilon \approx 0$. Además, para obtener valores más pequeños de$d$,$\epsilon$debería acercarse a$0$como$m$aumenta

De$\eqref{eq1A}$, usando el resultado de Tijdeman y$\eqref{eq2A}$, da

$$\begin{equation}\begin{aligned} \left|\sqrt{2}^m-\sqrt{3}^n\right| & \ge \frac{2^m}{m^c(\sqrt{2}^m + \sqrt{3}^n)} \\ & = \frac{2^m}{m^c(2 + \epsilon)\left(2^{m/2}\right)} \\ & = \frac{2^{m/2-1}}{m^c\left(1 + \frac{\epsilon}{2}\right)} \end{aligned}\end{equation}\tag{3}\label{eq3A}$$

El numerador es una exponencial en$m$mientras, desde$c$es un número real fijo y$\epsilon$es relativamente pequeño (e idealmente decreciente), el denominador es básicamente un polinomio en$m$. Dado que los exponenciales crecen más rápido que los polinomios, esto significa$\eqref{eq3A}$muestra que la diferencia mínima crece sin límite a medida que$m$aumenta Esto también significa el$\epsilon$en$\eqref{eq2A}$no puede estar cerca de$0$y, en realidad, debe estar aumentando. Así, esto prueba$\left|\sqrt{2}^m-\sqrt{3}^n\right|$no se puede hacer arbitrariamente pequeño.

En cuanto al valor más pequeño$d$puede ser, esto se puede determinar comprobando los valores más pequeños de$m$, con el número requerido para comprobar en función de lo que el valor de$c$es. Sin embargo, no sé si alguien ha hecho esto y, de ser así, cuál es el resultado.