Probar un campo vectorial que desaparece en ninguna parte en una variedad 2D implica TU≅M×S1TU≅M×S1TU\cong M\times S^1

Entonces, estoy tratando de resolver el siguiente problema. Supongamos que tiene un campo vectorial suave cero en ninguna parte en una variedad compacta orientada bidimensional. Demostrar que el paquete tangente unitario T tu es difeomorfo a METRO × S 1 .

Entonces, puedo ver que en cada punto de METRO el espacio unitario tangente es isomorfo a S 1 , pero no veo cómo usar el campo vectorial que desaparece en ninguna parte.

Primero, necesito convencerme de que en barrios lo suficientemente pequeños tenemos una banalización local. Entonces tal vez por compacidad podría cubrir la variedad con un número finito de vecindarios trivialmente cubiertos. Y tal vez luego use el campo vectorial que desaparece en ninguna parte para conectarlos de alguna manera, pero no estoy seguro.

O tal vez haya una forma inteligente de escribir el difeomorfismo usando el campo vectorial.

Cualquier sugerencia o idea sería apreciada, ¡gracias de antemano!

Era METRO se supone que es orientable? Si no, el resultado no se sostiene (vea el comentario de aes a continuación).
Sí, lo arreglé.

Respuestas (1)

Primero tenga en cuenta que si V es un campo vectorial que desaparece de la nada, entonces V ^ = V ‖ V ‖ es una sección global del fibrado unitario tangente.

Dejar pag ∈ T metro tu ≅ S 1 , entonces hay z ∈ S 1 tal que pag = z V ^ ( metro ) . el difeomorfismo T tu ≅ METRO × S 1 es dado por pag ↦ ( π ( pag ) , z ) .

Esto es muy similar a la prueba de que un paquete de líneas que admite una sección cero en ninguna parte es trivial.

Tal vez me perdí una condición en OP, pero esto no funciona si METRO no es orientable (entonces T METRO no se reduce a un C -bundle y su argumento no funciona). De hecho es falso, ya que, dejando k Sea el paquete de Klein, el espacio total de tu k es orientable pero k × S 1 no es.
@aes: Tienes razón, por supuesto. Le he pedido aclaraciones al OP.
@aes ¿Podría aclarar por qué la prueba anterior no funciona sin orientabilidad?
@TheManWhoNeverSleeps La fórmula pag = z V ^ ( metro ) no tiene sentido a menos T METRO metro tiene una estructura compleja. La condición de que un R 2 paquete de vectores tiene una estructura compleja es lo mismo que la condición de que tiene una orientación.
Probar un campo vectorial que desaparece en ninguna parte en una variedad 2D implica TU≅M×S1TU≅M×S1TU\cong M\times S^1
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