Collar de vecindarios de una variedad topológica con límite

Para$n$-colector$M$con límite no vacío$\partial M$, un barrio de cuello de$\partial M$en$M$es un barrio abierto de$M$homeomorfo a$\partial M \times [0,1)$por un homeomorfismo tomando$\partial M$a$\partial M \times 0$.

Se prueba en la Proposición 3.42 de la Topología Algebraica de Hatcher , que para una variedad compacta$M$con límite, hay una vecindad de collar de$\partial M$.

Ahora, supongamos$M$es un compacto$n$-variedad cuyo límite$\partial M$se descompone como la unión de dos compactos$(n-1)$-colectores$A$y$B$con un límite común$\partial A=\partial B=A\cap B$. Hatcher dice que la existencia de barrios de collar de$A \cap B$en$A$y$B$y$\partial M$en$M$implica que$A$y$B$son retracciones de deformación de vecindades abiertas$U$y$V$en$M$tal que$U \cup V$la deformación se retrae$A\cup B=\partial M$y$U\cap V$la deformación se retrae$A\cap B$.

¿Cómo se sostiene esto? no veo como tengo que elegir$U$y$V$.

gracias de antemano