Maximizar un ángulo basado en ciertas restricciones

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Maximizar un ángulo basado en ciertas restricciones

ángulo
círculos
geometría
Matemáticas
trigonometría
Geometría euclidiana

C_Lycoris

$A (0,a)$ y $B(0,b)\; (a,b>0)\;$ son los vértices de $\triangle ABC$ dónde $C(x,0)$ es variable Encuentre el valor de $x$ cuando ángulo $ACB$ es máximo.

Ahora bien, la geometría nunca ha sido realmente mi punto fuerte, así que decidí ir con un poco de cálculo. Primero, usé la regla del seno:

s i norte C = \frac{b - a}{2 R}

$\mathrm{sinC=\frac{b-a}{2R}}$ donde R es el radio del circuncírculo. Observo que para que el ángulo C sea máximo, sinC debe ser máximo. Como tal, R debe ser mínimo. A continuación, utilicé la relación

R = \frac{(b - a) \cdot \sqrt{X^{2} + b^{2}} \cdot \sqrt{X^{2} + a^{2}}}{2 Δ}

$\mathrm{R=\frac{(b-a)\cdot\sqrt{x^2+b^2}\cdot\sqrt{x^2+a^2}}{2\Delta}}$ dónde

Δ is the area of A B C = \frac{(b - a) x}{2}

$\mathrm{\Delta \text{ is the area of }ABC=\frac{(b-a)x}{2}}$ .

Un poco de diferenciación comparativamente larga me da el valor de $x$ como $\sqrt{ab}$ .

Cuando reviso las soluciones, simplemente se ha dicho:

Para que el ángulo ACB sea máximo, el círculo que pasa por A,B tocará el eje X en C.

Más allá de esto, se ha resuelto usando el muy simple $\mathrm{OC^2=OA\cdot OB}$ , donde O es el origen. Entonces, la declaración anterior parece ser la diferencia entre una diferenciación larga y una solución de una línea.

Se me hace un poco difícil ver por qué la declaración anterior debería ser intuitiva. ¿Podría alguien arrojarme un poco más de luz y posiblemente proporcionarme una prueba intuitiva?

C_Lycoris

No podía decidirme por un título conciso pero lúcido. Por favor, siéntase libre de editarlo.

Respuestas (6)

Maximizar un ángulo basado en ciertas restricciones

No podía decidirme por un título conciso pero lúcido. Por favor, siéntase libre de editarlo.

amante de las matemáticas · Answer 1

se da que $a, b \gt 0$ por lo tanto $A$ y $B$ están en el mismo lado del eje x. El primer punto a tener en cuenta es que $\triangle ABC$ es obtuso y $\angle ACB$ es agudo Ahora usamos la relación $AB = 2 R \sin C$ dónde $R$ es el circunradio de $\triangle ABC$ . Como $AB$ es fijo, maximizamos $\angle C$ cuando minimizamos $R$ dado $\sin$ función es estrictamente creciente para $\left(0, \frac{\pi}{2} \right)$ .

También tenga en cuenta que $O$ debe estar sobre la mediatriz de $AB$ que es paralelo al eje x. Entonces, $R = OC$ es mínimo cuando $OC$ es perpendicular al eje x.

"Suponiendo que ambos $\mathrm{A}$ y $\mathrm{B}$ están por encima del eje x''. Sí, eso se ha mencionado en la pregunta. Realmente me gusta que esta respuesta recogiera mi línea de pensamiento cuando abordé este problema por primera vez y brindé una explicación intuitiva de esa manera. Las otras respuestas que tengo también son muy buenas; es difícil decidirse por una "mejor" respuesta.
@C_Lycoris es bueno ver que tiene algunas respuestas para elegir :) Simplemente no estaba seguro de si la pregunta decía eso $a, b$ ambos fueron positivos, por lo que se agregó la línea que indica que están en el mismo lado del eje x.
En la publicación del OP $O$ se denomina origen. en tu respuesta?
@ACB me refiero a $O$ como centro de la circuncircunferencia de $\triangle ABC$

sátvico · Answer 2

Dejar $\omega$ ser el circuncírculo de $\triangle ABC$ dónde $C$ es un punto en el $x$ -eje tal que $\angle ACB$ es máximo. Asumir $\omega$ se cruza con el $x$ -eje dos veces, en $C$ y $D$ .

Dejar $F$ sea cualquier punto del arco ${CD}$ (que no contiene $A, B$ ) y definir $E$ como la intersección de $AF$ y $x$ -eje. Observar,

∠ A C B = ∠ A F B < ∠ A mi B

$\angle ACB=\angle AFB<\angle AEB$ lo que contradice el hecho de que

∠ A C B

$\angle ACB$ es máximo.

Por lo tanto, la suposición de que $\omega$ se cruza con el $x$ -eje dos veces es incorrecto, lo que implica $\omega$ es tangente a la $x$ -eje en $C$ .

+1. Me gustó esta prueba, realmente se me debería haber ocurrido.

Azul · Answer 3

Dejar $\bigcirc K$ a través de $A$ y $B$ ser tangente a la $x$ -eje en $D$ . Para $C$ sobre el $x$ -eje (y en el mismo lado del $y$ -eje como $D$ ), dejar $A'$ y $B'$ ser los "otros" puntos donde $\overleftrightarrow{AC}$ y $\overleftrightarrow{BC}$ cumplir con este círculo.

Un corolario del teorema del ángulo inscrito establece que podemos escribir

∠ C = \frac{1}{2} (∠ A k B - ∠ A^{'} k B^{'})

$\angle C = \frac12 \left(\;\angle AKB - \angle A'KB'\;\right)$ Desde

∠ A K B

$\angle AKB$ es fijo, maximizando

∠ C

$\angle C$ equivale a minimizar

∠ A^{'} K B^{'}

$\angle A'KB'$ . Esto sucede cuando (y solo cuando)

A^{'}

$A'$ y

B^{'}

$B'$ coincidir; por lo tanto, cuando

C

$C$ y

D

$D$ coincidir.

◻

$\square$

jiangty · Answer 4

Usamos el hecho de que si $A$ y $B$ están en un círculo dado, entonces si tienes $C$ en el círculo y $C_0$ (estrictamente) dentro del círculo (y $C$ , $C_0$ están del mismo lado de $\overline{AB}$ )

∠ A C_{0} B > ∠ A C B

$\angle AC_0B > \angle ACB$

Puedes ver esto extendiendo $AC_0$ al círculo en $C'_0$ , en ese caso $\angle AC_0B > \angle AC'_0B$ , pero debido al teorema del ángulo inscrito, $\angle AC'_0B = \angle ACB$ .

Ahora, escribe el ángulo deseado. $\angle ACB$ como $f(x)$ en términos de $x$ ; queremos maximizar $f(x)$ .

El circuncírculo de $\triangle ABC$ siempre cruza la $x$ -eje en $C = (x_0, 0)$ . Ahora, digamos por contradicción que $f(x_0)$ es máxima, y que el circuncírculo de $\triangle ABC$ también cruza la $x$ -eje en $C' = (x_0', 0) \neq C$ . Entonces el punto medio $M$ de $\overline{CC'}$ está dentro del círculo, entonces $\angle AMB > \angle ACB$ ; y $M = \left(\frac{x_0 + x'_0}{2}, 0 \right)$ esta en $x$ -eje, entonces

F (\frac{X_{0} + X_{0}^{'}}{2}) > F (X_{0}),

$f\left( \frac{x_0+x_0'}{2} \right) > f(x_0),$ contradiciendo el hecho de que

f (x_{0})

$f(x_0)$ es máximo.

Así el circuncírculo de $\triangle ABC$ debe cruzar la $x$ -eje en exactamente un punto.

Narasimham · Answer 5

Hay dos formas de verlo.

Los círculos como los que pasan por lados no rojos que se encuentran en el eje x en D,E subtienden el mismo ángulo desde el segmento AB (los ángulos en un segmento tienen la misma propiedad). Para que haya un punto único, estos puntos deben juntarse para convertirlos en un punto repetido. Un punto repetido es de hecho un punto de tangencia en C.

Por la propiedad de la Circunferencia de que el producto de los segmentos sea constante (este ser es la potencia de la Circunferencia ) tenemos

\begin{matrix} (1) & O A \cdot O B = O C^{2} = X^{2} \to X = \sqrt{a b} \end{matrix}

$OA \cdot OB= OC^2= x^2 \to \; x = \sqrt {ab} \tag1$

La siguiente forma es la confirmación directa con cálculo diferencial, máximos/mínimos.

El "ángulo de mirada" o ángulo subtendido es

{broncearse}^{- 1} \frac{a}{X} - {broncearse}^{- 1} \frac{b}{X}

$\tan^{-1}\frac{a}{x}-\tan^{-1}\frac{b}{x}$

diferenciar wrt $x$ arctan y regla de la cadena

\frac{- a / X^{2}}{1 + a^{2} / X^{2}} + \frac{- b / X^{2}}{1 + b^{2} / X^{2}} = 0

$\dfrac{-a/x^2}{1+a^2/x^2} + \dfrac{-b/x^2}{1+b^2/x^2} =0$

Cuando se simplifica, obtenemos el mismo resultado que (1).

vasili · Answer 6

Otra forma de resolverlo usando cálculo y geometría es notar que $\angle C=\frac{\pi}{2}-(\angle ACO+\angle CBO)$ (dónde $O$ es el origen). minimizando $\angle ACO+\angle CBO$ es equivalente a minimizar $\tan \angle ACO+\tan \angle CBO=\frac{a}{x}+\frac{x}{b}$ que es fácil de diferenciar.

Lo siento, pero ¿a qué se refiere el punto 'O' en su respuesta? Si es el origen, no debería $\angle C=\frac{\pi}{2}-(\angle ACO+\angle CBO)$ ?
¡Gracias! Tuve un error tipográfico, pero la función que expresa la suma de las tangentes es correcta. Punto $O$ es el origen.
Sí. Vi que la expresión final era correcta. También una diferenciación muy rápida para dar la respuesta. ¡Gracias!

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¿Cómo mostrar explícitamente que los ángulos 222 son distintos en esta construcción geométrica circular?

Encuentre ∠CAD∠CAD\angle CAD en la siguiente figura.

Demostrando que el circuncentro está en la altura

Sea ABCDABCDABCD un cuadrilátero cíclico convexo tal que AD+BC=ABAD+BC=ABAD + BC = AB. Demuestra que las bisectrices de los ángulos ADCADCADC y BCDBCDBCD se cortan en la recta ABABAB.

¿Los círculos R,G,BR,G,BR,G,B que se intersecan por pares tienen cuerdas comunes concurrentes?

¿Las tangentes de dos circunferencias definen circunferencias concéntricas?

Dado que el lugar geométrico es un círculo, demuestre que dos líneas son perpendiculares

Construye círculos de modo que toquen dos dados

Ángulo doble en triángulo circunscrito

Punto en un diámetro de un círculo