Encuentre ∠CAD∠CAD\angle CAD en la siguiente figura.

Question

Encuentre ∠CAD∠CAD\angle CAD en la siguiente figura.

ángulo
geometría
triangulos
Matemáticas
trigonometría
Geometría euclidiana

Divya Prakash Sinha

En $\triangle ABC$ , $\angle ACB =20°$ y $\angle CAB = \angle CBA=80°$

$D$ es un punto en $CB$ tal que $CD=AB$

Encontrar $\angle CAD$

supuse $\angle CAD=\theta$ y $AB=CD=x$

Aplicando la regla del seno en $\triangle CAD$ y $\triangle ABD$

\frac{X}{pecado θ} = \frac{A D}{pecado 20^{\circ}}

$\frac {x} {\sin\theta}=\frac {AD} {\sin 20^\circ}$

\frac{X}{pecado (θ + 20 °)} = \frac{A D}{pecado 80^{\circ}}

$\frac {x} {\sin(\theta+20°)}=\frac {AD} {\sin 80^\circ}$

Entonces,

\frac{pecado (θ + 20)}{pecado θ} = \frac{pecado 80^{\circ}}{pecado 20^{\circ}} = \frac{1}{2 pecado 10^{\circ}}

$\frac {\sin(\theta+20)} {\sin\theta}=\frac {\sin 80^\circ} {\sin 20^\circ}=\frac {1} {2\sin 10^\circ}$

No creo que esta ecuación para $\theta$ Se puede resolver sin usar calculadora. Si alguien puede resolverlo, por favor muéstrenme el método. (Por favor, no adivine.)

Si no tiene solución, por favor proporcione alguna otra solución. (Si la solución es puramente geométrica y contiene construcción, entonces también dígame su intuición detrás de su construcción).

Divya Prakash Sinha

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ETS1331

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Divya Prakash Sinha

¿Eres capaz de verlo ahora?

Imranfat

no lo entiendo ¿Si D está en el segmento AC y está preguntando el ángulo CAD? Estos puntos son colineales. ¿Me estoy perdiendo de algo?

Pauca inteligente

Vea las soluciones aquí: cut-the-knot.org/triangle/80-80-20/IndexToLong.shtml

Divya Prakash Sinha

Estimado Aretino, gracias por dar este enlace, pero necesito algo más que solución.

Andrei

Si tú escribes

\frac{1}{2}

$\frac 12$ como

\sin 30^{\circ} = \sin (10^{\circ} + 20^{\circ}

$\sin 30^\circ=\sin(10^\circ+20^\circ$ , todo lo que necesitas mostrar es que

θ = 10^{\circ}

$\theta=10^\circ$ es solución única.

Respuestas (2)

Encuentre ∠CAD∠CAD\angle CAD en la siguiente figura.

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no lo entiendo ¿Si D está en el segmento AC y está preguntando el ángulo CAD? Estos puntos son colineales. ¿Me estoy perdiendo de algo?
Vea las soluciones aquí: cut-the-knot.org/triangle/80-80-20/IndexToLong.shtml
Estimado Aretino, gracias por dar este enlace, pero necesito algo más que solución.
Si tú escribes $\frac 12$ como $\sin 30^\circ=\sin(10^\circ+20^\circ$ , todo lo que necesitas mostrar es que $\theta=10^\circ$ es solución única.

cuanto · Answer 1

Continúa resolviendo la ecuación.

\frac{pecado (θ + 20^{\circ})}{pecado θ} = \frac{1}{2 pecado 10^{\circ}} .

$\frac {\sin(\theta+20^\circ)} {\sin\theta}=\frac {1} {2\sin 10^\circ}.$

como sigue

\begin{aligned} cuna θ & = \frac{1}{2 pecado 10^{\circ} pecado 20^{\circ}} - cuna 20^{\circ} = \frac{pecado (10^{\circ} + 20^{\circ})}{pecado 10^{\circ} pecado 20^{\circ}} - cuna 20^{\circ} = cuna 10^{\circ} \end{aligned}

$\begin{align} \cot \theta & = \frac1{2\sin 10^\circ\sin 20^\circ}-\cot 20^\circ = \frac{\sin(10^\circ+ 20^\circ)}{\sin 10^\circ\sin 20^\circ}-\cot 20^\circ =\cot 10^\circ \end{align}$

De este modo, $\theta = 10^\circ$ .

alberto chan · Answer 2

Dejar $a=AB, b=BD, \alpha=∠BDA, \beta=∠BAD$
$b = CB - CD = {a/2 \over \sin(10°)} - a$

Para ΔABD, ahora tenemos SAS y usamos la ley de las tangentes :

\frac{a + b}{a - b} = \frac{broncearse \frac{α + β}{2}}{broncearse \frac{α - β}{2}}

${a+b \over a-b} = {\tan{\alpha+\beta \over 2} \over \tan{\alpha-\beta \over 2}}$

\frac{1}{4 pecado (10 °) - 1} = \frac{broncearse 50 °}{broncearse \frac{α - β}{2}}

${1 \over 4\sin(10°)-1} = {\tan{50°} \over \tan{\alpha-\beta \over 2}}$

\begin{aligned} \tan \frac{α - β}{2} & = (4 \sin (10 °) - 1) \tan (50 °) \\ = \frac{4 \sin (10 °) \sin (50 °) - \sin (50 °)}{\cos (50 °)} \\ = \frac{2 \cos (40 °) - 2 \cos (60 °) - \cos (40 °)}{\sin (40 °)} \\ = \frac{\cos (40 °) - 1}{\sin (40 °)} \\ = \frac{- 2 \sin^{2} (20 °)}{2 \sin (20 °) \cos (20 °)} \\ = \tan (- 20 °) \end{aligned}

$\begin{align} \tan{\alpha-\beta \over 2} &= (4\sin(10°)-1) \tan(50°) \cr &= {4\sin(10°)\sin(50°) - \sin(50°) \over \cos(50°) }\cr &= {2\cos(40°) - 2\cos(60°) - \cos(40°) \over \sin(40°)}\cr &= {\cos(40°) - 1 \over \sin(40°)}\cr &= {-2\sin^2(20°) \over 2\sin(20°)\cos(20°)}\cr &= \tan(-20°) \end{align}$

β = \frac{α + β}{2} - \frac{α - β}{2} = 50 ° + 20 ° = 70 °

$\beta = {\alpha+\beta \over 2} - {\alpha-\beta \over 2} = 50° + 20° = 70°$

∠ C A D = ∠ C A B - β = 80 ° - 70 ° = 10 °

$∠CAD = ∠CAB - \beta = 80° - 70° = 10°$

Encuentre ∠CAD∠CAD\angle CAD en la siguiente figura.

Divya Prakash Sinha

Divya Prakash Sinha

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Divya Prakash Sinha

Imranfat

Pauca inteligente

Divya Prakash Sinha

Andrei

Respuestas (2)

cuanto

alberto chan

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