Comprensión intuitiva de funciones trigonométricas de ángulos mayores que un ángulo recto

Estaba estudiando sobre funciones trigonométricas y descubrí que al definir funciones trigonométricas de cualquier ángulo (+ve o -ve y de cualquier tamaño), toman dos líneas mutuamente perpendiculares y una línea giratoria y luego construyen una perpendicular en la línea horizontal desde cualquier punto de la línea giratoria. Luego definen la base, la perpendicular y el segmento de línea giratoria. Luego, las razones trigonométricas del ángulo theta formado por la línea giratoria se describen como:

pecado ⁡ θ = Segmento perpendicular/giratorio

porque ⁡ θ = Segmento base/giratorio

broncearse ⁡ θ = Perpendiculares/Base

Y posteriormente sus respectivas cofunciones.

Para comprender qué es realmente un seno de un ángulo agudo, podemos pensarlo como una relación entre el lado opuesto y la hipotenusa de un ángulo contenido en un triángulo rectángulo. Pero el problema surgió cuando tuve que visualizar el seno de un ángulo mayor que 90 ∘ . Esto se debe a que no puedo relacionarlo como una proporción de los lados de un triángulo, lo que lo hace difícil de entender en la práctica. Conozco algunas de las aplicaciones de las funciones trigonométricas de ángulo mayor que 90 ∘ como al calcular el trabajo realizado, por lo que debe haber una descripción intuitiva de tales funciones trigonométricas, pero no pude revelar ninguna.

Por favor, ayúdame a entender qué significan en la práctica las proporciones trigonométricas de tales ángulos. No prefiero ninguna explicación teórica como la del plano cartesiano o el enfoque del círculo de entrada. ¡Gracias de antemano por eso!

si decir π 2 < θ < π podrías considerar el ángulo de referencia 0 < π − θ < π 2 , señalando que pecado ⁡ ( π − θ ) = pecado ⁡ θ y porque ⁡ ( π − θ ) = − porque ⁡ θ
No estoy preguntando sobre la igualdad de las funciones trigonométricas de dos ángulos sino qué significa el seno de un ángulo mayor de 90 grados.
De lo que está hablando es una variación de la definición de círculo unitario (¿entrada?) De funciones trigonométricas. En la definición de círculo unitario, la longitud del "segmento giratorio" es 1 la unidad y el seno del ángulo formado por ese segmento se define como la longitud de la perpendicular desde el extremo móvil del segmento hasta la horizontal.
No me preocupa una definición rigurosa de funciones trigonométricas, pero quiero saber qué significan intuitivamente las funciones trigonométricas de ángulos mayores de 90 grados.
Debe comprender que la definición del triángulo rectángulo de las funciones trigonométricas es válida solo en el rango ( 0 , π 2 ) . Necesita familiarizarse con el círculo unitario (si desea relacionarlo con la definición de segmento giratorio) u otras definiciones de funciones trigonométricas como la que involucra series para tener una idea intuitiva de lo que sucede.
@ Parth Estoy completamente de acuerdo contigo y gracias por tu ayuda. Pero el objetivo de hacer la pregunta era que quería saber cómo puedo relacionar las funciones trigonométricas de tales ángulos. Expresar el seno x como una serie infinita es un concepto abstracto (para mí) y no un enfoque intuitivo como las proporciones de los lados de un triángulo que se usan para relacionar las funciones trigonométricas de los ángulos agudos.
Si no me equivoco, se enfrenta a un problema al visualizar la proporción de los lados mayor que π 2 . Como dije antes, la definición del triángulo rectángulo solo es válida en el rango ( 0 , π 2 ) entonces tienes razón en que es difícil visualizar ángulos más allá de este rango. Aquí es cuando necesita comprender la definición del círculo unitario (si eso es lo suficientemente intuitivo para usted). Si usa esa definición, tendrá sentido lo que realmente significan las funciones trigonométricas de tales ángulos. No puede visualizarlos usando solo la definición de triángulo rectángulo. Incluso la definición que das en la pregunta funciona perfectamente.

Respuestas (1)

La definición moderna de las funciones trigonométricas elementales (en la forma en que la aprendí) es la siguiente. Tienes dos ejes perpendiculares en un plano, vistos en una orientación tal que un eje (el X eje) corre horizontalmente de izquierda a derecha y el otro eje (el y eje) es vertical. Construyes un círculo de radio 1 con su centro en el punto de intersección de los dos ejes. Este círculo se llama círculo unitario. Definir pecado ⁡ ( θ ) y porque ⁡ ( θ ) , viajar una distancia θ en sentido contrario a las agujas del reloj (es decir, en sentido contrario a las agujas del reloj) alrededor del círculo unitario, comenzando en la intersección más a la derecha del círculo unitario y el X eje; entonces pecado ⁡ ( θ ) es el y -coordenada del punto al que llegas cuando has recorrido esa distancia y porque ⁡ ( θ ) es el X -coordenada de ese punto.

Puede encontrar un "segmento giratorio" en esta construcción construyendo un segmento desde el centro del círculo unitario hasta el punto al que llega después de recorrer cualquier distancia. El asunto de dividir longitudes por la longitud del segmento giratorio se evita eligiendo unidades de modo que todo se mida en relación con la longitud del "segmento giratorio", incluida la distancia recorrida a lo largo del círculo unitario. Como resultado de esto, obtienes funciones de seno y coseno para ángulos medidos en radianes.

Entonces, las funciones de seno y coseno son simplemente formas de convertir un movimiento circular o giratorio en un movimiento lineal (de izquierda a derecha o de arriba a abajo). Para el primer cuarto del primer circuito completo alrededor del círculo, tenemos la característica adicional de que puedes dibujar un triángulo rectángulo con un lado a lo largo del círculo. X eje, usando el "segmento giratorio" como hipotenusa, y ahora tenemos un montón de datos sobre las longitudes relativas de los lados de los triángulos rectángulos. Pero estos hechos sobre los triángulos rectángulos son solo efectos secundarios útiles de las definiciones de las funciones trigonométricas, no la razón de ser de esas funciones.

Para un ejemplo de la vida real de convertir el movimiento circular en movimiento lineal exactamente de esta manera, considere el yugo escocés. Este es un mecanismo en el que un pasador de manivela (que se desplaza en una trayectoria circular) se inserta en una varilla a través de una ranura transversal en la varilla de modo que cuando gira la manivela, el pasador de manivela empuja la varilla hacia adelante y hacia atrás. Hay muchas ilustraciones de este mecanismo que puedes encontrar; puede seguir este enlace a un video, por ejemplo . Incluso ha habido un motor de automóvil construido sobre este principio no hace mucho tiempo .

Gracias... Me gustó el video y su enfoque para pensar en las funciones trigonométricas como formas de convertir el movimiento circular en movimiento lineal.
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