sentar parejas casadas alrededor de una mesa circular

Estamos sentando a 5 parejas casadas alrededor de una mesa circular (los asientos son idénticos). Sea {m1,m2,m3,m4,m5} el conjunto de los hombres y {w1,w2,w3,w4,w5} el conjunto de sus esposas. ¿De cuántas maneras se sentará el hombre 1 al lado de su esposa y el hombre$3$no se sentará al lado de su esposa?

El número total de formas en que podrían sentarse sin restricciones sería$(10-1)!$para arreglarse.

• M1W1 deben sentarse juntos Consideremos w1m1 como una unidad. Así nos quedamos con$9$personas en su lugar. Sin embargo, w1 y m1 pueden disponerse entre sí en$2!$maneras, por lo tanto, la respuesta es$(9-1)!*2!$debido a la disposición circular.

• Consideremos el caso en el que M3 y W3 están juntos junto con M1 y W1. m1w1, m3w3 Ahora nos quedan 8 personas. ¡w1m1 se pueden organizar entre ellos en 2! maneras como w3m3 por lo que obtenemos$(8-1)!*2*2$debido a la disposición circular

Necesitamos arreglos cuando w3 y m3 no están juntos..

Arreglos totales =$(8!*2!)-(7!*2!*2!)$

• ¿Es correcto?
• ¿Debo restar la respuesta final del número total de arreglos sin restricciones?
• ¿Cómo hago esto correctamente usando el principio de inclusión y exclusión?

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Actualización : mi intento de resolverlo utilizando el principio de inclusión/exclusión

El número total de arreglos sin restricciones sería

$$(10-1)!$$

Los arreglos donde m1w1 no están juntos serían

_m2_m3_m4_m5_w2_w3_w4_w5_

Tenemos 9 lugares donde queremos ubicar a 2 personas y organizarlas de 2 maneras, luego nos quedan otras 8 personas.

$$(8-1)! * {9-1 \choose 2 } * 2!$$

Arreglos donde m3w3 están juntos

Considerando m3w3 como una unidad. ¡Ahora nos quedan 9 grupos y todavía podemos organizar m3w3 entre ellos en 2! maneras.

$$(9-1)!*2$$

Arreglos donde m1w1 no están juntos , m3w3 están juntos

_m3w3_m2_m4_m5_w2_w4_w5_

Nuevamente, tenemos 2 letras para colocar en 8 lugares, a saber, m1 y w1, y luego las organizamos de 2 maneras. Después de eso, organizamos a las otras 7 personas que tienen m3w3 como un grupo, de modo que se pueda hacer en (7-1!) en una mesa circular y nuevamente se puedan organizar de dos maneras diferentes. Por lo tanto, obtenemos lo siguiente:

$${8-1 \choose 2 } * 2! * (7-1)! * 2!$$

Respuesta final:

$$9!-(7! * {8 \choose 2 } * 2! + 8!*2 - {7 \choose 2 } * 2! * 6! * 2!)$$

Obtengo la misma respuesta de esto que en el anterior, ¿entonces significa que mi implementación de inclusión y exclusión es correcta?