Calcular el número de veces exactamente 2 pares de letras idénticas consecutivas.

Question

Calcular el número de veces exactamente 2 pares de letras idénticas consecutivas.

Matemáticas
combinaciones
permutaciones
combinatoria
exclusión inclusión

rsonx

Estoy preocupado por este problema, mi intuición falla literalmente y parece que no puedo entender por qué.

¿De cuántas maneras se pueden ordenar las letras en ARREGLO para que haya exactamente dos pares de letras idénticas consecutivas?

Mi acercamiento:

El número de formas en que pueden ocurrir al menos dos de estos pares es $4\choose2$ * $\frac {9!}{2!*2!}$

El número de formas en que pueden ocurrir al menos tres de estos pares es $4\choose3$ * $\frac {8!}{2!}$

El número de formas en que pueden ocurrir al menos cuatro de estos pares es $4\choose4$ * $7!$

Por lo tanto, el número total de formas en las que ocurren exactamente 2 pares debe ser $4\choose2$ $\frac{9!}{2!*2!}$ - $4\choose3$ $\frac{8!}{2!}$ + $4\choose4$ * $7!$

Respuestas (3)

Calcular el número de veces exactamente 2 pares de letras idénticas consecutivas.

Salmón · Answer 1

Según la hipótesis de cada $1 \leq m \leq t$ , el número de elementos en $S$ que satisface exactamente $m$ de las condiciones $c_1 , c_2 , .., c_t$ dada por
${mi}_{metro} = S_{metro} - C (metro + 1, 1) S_{metro + 1} + C (metro + 2, 2) S_{metro + 2} - . . . + (- 1)^{t - metro} C (t, t - metro) S_{t}$ $E_m= S_m - C(m+1,1)S_{m+1} + C(m+2,2)S_{m+2} - ... + (-1)^{t-m}C(t , t-m) S_{t}$

Entonces, usando la hipótesis

{mi}_{2} = S_{2} - C (3, 1) S_{3} + C (4, 2) S_{4}

$E_2= S_2 - C(3,1)S_{3} + C(4,2)S_{4}$ dónde

S_{2} = C (4, 2) \times 90720

$S_2= C(4,2) \times 90720$ ,

S_{3} = C (4, 3) \times 20160

$S_3= C(4,3) \times 20160$ ,

S_{4} = C (4, 4) \times 5040

$S_4= C(4,4) \times 5040$

$S_2$ significa el número de todos los arreglos donde $2$ pares son adyacentes entre $AA,EE,NN,RR$ .

$S_3$ significa el número de todos los arreglos donde $3$ pares son adyacentes entre $AA,EE,NN,RR$ .

$S_4$ significa el número de todos los arreglos donde $4$ pares son adyacentes entre $AA,EE,NN,RR$ .

Por cálculo la respuesta es $544320 - (3 \times 80640) + (6 \times 5040 ) = 332640$

TEN CUIDADO !! Esta pregunta es diferente del principio ordinario de inclusión-exclusión, porque se pregunta por $\color{red}{exactly}$ $2$ parejas Por lo tanto, utilicé la versión generalizada del principio de inclusión-exclusión. Cuando usa el principio de inclusión-exclusión directamente, hace un conteo excesivo. Para evitar el conteo excesivo, usamos la fórmula dada. Puedes dibujar un diagrama de Venn para ver cómo funciona la fórmula.

Tus cálculos son correctos. Pero ¿por qué falla mi intuición?
@rsonx imagina la pregunta como el diagrama de Venn, es el punto clave
@rsonx está haciendo un conteo excesivo, para evitar el conteo excesivo, ponemos $3$ en la cabeza de al menos tres de esos pares y poner $6$ en la cabeza de $7!$
@rsonx, la fórmula que te di es para evitar el conteo excesivo cuando se indica exactamente $n$ parejas
bien, creo que lo estoy entendiendo ahora. Anteriormente estaba pensando de esta manera, si eliminamos la cantidad de formas en que pueden ocurrir al menos 3 pares de la cantidad de formas en que pueden ocurrir al menos 2 pares, entonces tendríamos la cantidad de formas en que ocurren exactamente 2 pares.

Anónimo · Answer 2

Tu cuenta de la cantidad de formas en que puedes tener al menos dos pares parece incorrecta. Tal vez si explica su cálculo, pueda ayudarlo a identificar qué está mal.

Contemos, por ejemplo, el número $K$ de permutaciones en las que $AA$ y $RR$ aparecer, pero no $NN$ y no $EE$ . (Como hay seis pares entre A, R, N, E, tu respuesta final será $6K$ .) Tenemos

k = (número de permisos con AA, RR) - (número de permisos con AA, RR, NN) - (número de permisos con AA, RR, EE) + (número de permisos con AA, RR, NN, EE) .

$K = (\text{number of perms with AA, RR}) - (\text{number of perms with AA, RR, NN}) - (\text{number of perms with AA, RR, EE}) + (\text{number of perms with AA, RR, NN, EE}).$

Entonces $K = 9!/(2!)^2 - 2 \cdot 8!/2! + 7! = 11 \cdot 7!.$

Por lo tanto la respuesta es $6K = 66 \cdot 7! = 332640.$

El cálculo de al menos dos pares es el siguiente: hay 4 pares, así que elegimos 2 de ellos en 4C2 formas. Entonces consideramos los dos pares como dos letras individuales. Así que ahora hay 9 letras, de las cuales 2+2 serán idénticas, ¡así que habrá 9!/(2!*2!). Así que en total 4C2*9!/(2!*2!) Formas.
Si te entiendo bien, di AA y RR son los pares. Los está considerando como un solo bloque cada uno, por lo que tiene, en esencia, 9 letras, a saber, AA, RR, N, N, E, E, G, M, T. Luego divide por $2! 2!$ porque las dos E o las dos N podrían cambiar de lugar. El problema con este enfoque es que si tiene tres o cuatro pares idénticos consecutivos, la permutación se contará más de una vez. Por ejemplo, si aparecen AA, RR y NN, entonces está contando la permutación una vez para AA, RR, una vez para AA, NN y una vez más para RR, NN.

anil azul verdadero · Answer 3

Lo calcularemos dividiéndolo en dos partes.

Pega los dos $A's$ y dos $E's$ juntos como $\Bbb A, \Bbb E$ respectivamente, por lo que tenemos

$\Bbb A \Bbb E GMTRRNN$ con $\frac{9!}{2!2!} = 90720$ permutaciones

En parte $2$ , resta permutaciones donde ni $R's\; nor\; N's$ están juntos

Arreglos con $N's$ juntos = $\frac{8!}{2!}=20160$

ídem para $R's$ juntos $= 20160$

Ambos $N's\;and\; R's$ juntos $= 7!=5040$

Por inclusión-exclusión, tampoco $R's\;nor N's$ juntos = $90720- 2*20160+5040=55440$

Así exactamente $A's\; and\; E's$ juntos $= 55440$

Finalmente, puede haber $\binom42$ pares dobles, dando la respuesta como $6*55440= \boxed{332640}$

Calcular el número de veces exactamente 2 pares de letras idénticas consecutivas.

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