Personas sentadas alrededor de mesas triangulares

No es necesario contar el número de arreglos alrededor de cualquiera de las mesas; la proporción es simplemente$3$, porque cada uno de los arreglos equiláteros corresponde a tres arreglos isósceles, siendo las "bases" de los triángulos isósceles los tres lados diferentes del triángulo equilátero. (Esto supone que "isosceles" significa "isosceles pero no equilátero").

Observación: inicialmente solo iba a publicar esto como un comentario, pero decidí convertirlo en una respuesta completa para enfatizar un punto: si presta mucha atención a exactamente lo que pide una pregunta, a veces puede salirse con la suya haciendo mucho menos trabajo de lo que de otro modo podría anticipar. En este caso, contar el número de arreglos no es muy difícil, pero requiere un poco de esfuerzo. Dado que la pregunta solo pide la razón, basta con observar que los arreglos isósceles vienen en grupos de tres. Un problema más avanzado podría representar un desafío abrumador para contar los arreglos, pero aún así tener una forma simple de llegar a la proporción.

Tres personas a cada lado de una mesa en forma de triángulo isósceles : elige uno de los asientos como punto de partida (no importa qué asiento elijas). Hay nueve formas de elegir a la persona que se sienta en ese asiento. Las ocho personas restantes se pueden organizar en$8!$maneras a medida que procedemos en el sentido de las agujas del reloj alrededor de la mesa de esa persona. Hasta la rotación, hay$9 \cdot 8! = 9!$tales arreglos. Sin embargo, hay tres rotaciones equivalentes de la mesa, por lo que hemos contado tres veces cada uno de esos arreglos. Por lo tanto, hay

$$\frac{9!}{3}$$ arreglos de nueve personas alrededor de una mesa con forma de triángulo equilátero si tres personas se sientan a cada lado.

Si$n = kx$, dónde$k$es un número entero, el número de formas$n$las personas pueden sentarse alrededor de una mesa en forma de polígono regular con$x$lados es

$$\frac{n!}{x}$$ puesto que hay$n!$maneras de organizar a las personas alrededor de la mesa y$x$rotaciones equivalentes.

Si dibujamos un triángulo en una hoja de papel y colocamos 3 espacios en cada lado, la cantidad de formas de colocar personas en los 9 espacios es$9!$. Pero, hay una simetría presente, donde si tuviéramos que rotar la ubicación de cada lado al siguiente lado, los asientos se verían iguales para todos.

Es decir, si tiene las personas A,B,C en el lado 1, las personas D,E,F en el lado 2 y las personas G,H,I en el lado 3, esto es equivalente a las personas G,H,I en el lado 1 , personas A,B,C en el lado 2 y personas D,E,F en el lado 3, con el mismo orden de personas en cada lado. Hay un total de 3 ubicaciones equivalentes para esta configuración. No hay otras ubicaciones equivalentes. Digamos que eres la persona A sentada a la mesa; de tu lado, sabes que B está a tu derecha, y C está a la derecha de B, y en el lado siguiente, está D,E,F, etc. Esto obliga a que estas 3 sean las únicas ubicaciones correspondientes a esta configuración.

Por lo tanto, el número total de formas de sentar a las 9 personas es$9!/3.$

Estoy suponiendo que hay tres personas a cada lado, sentadas simétricamente

Si los asientos están numerados, el número de arreglos será$9!$para ambos.

Si no están numerados, entonces para el triángulo isósceles permanecerá$9!$, pero que para el triángulo equilátero se convertirá en$\frac{9!}{3}$porque no puedes distinguir entre los tres vértices. [Para sentarse a la misma distancia en un círculo, sería$\frac{9!}{9}$porque no podías distinguir entre ninguno de los$9$puntos]