De la palabra SHOWERDOWN, ¿cuántas palabras de 4 letras comienzan y terminan con una vocal?

Le faltan casos, por ejemplo, ¿qué pasa con los casos en los que están presentes las tres vocales? Dos de ellos están en dos extremos y uno de ellos es una de las dos letras del medio.

Una vez que eliges dos vocales, te quedas con$7$letras distintas:
S H W R D N EoS H W R D N O

Hay$\displaystyle {7 \choose 2}$formas de elegir dos letras y$2$formas de ordenarlos. También hay$3$manera de colocar dos vocales:
O _ _ O, E _ _ O,O _ _ E

Eso lleva a$~\displaystyle 3 \cdot 2 \cdot {7 \choose 2} = 126$palabras de cuatro letras, sin incluir palabras con dos W. Hay$3$Palabras de cuatro letras con dos W.

Entonces, la respuesta debería ser$129$.

• hay$3$posibilidades de inicio/fin, a saber$\;O...E,\; E...O,\; O...O$

• dos de la$7$letras distintas que quedan se pueden insertar en$7*6+1^@ = 43$maneras

• multiplica los dos

[$+1^@$se encarga del caso cuando ambas letras del medio están$Ws$]