Derivar densidad de corriente de probabilidad: factores de discrepancia de 2 [cerrado]

Para derivar la densidad de corriente de probabilidad para una partícula en un campo electromagnético, calculamos ∂ ρ ∂ t = ∂ ∂ t ( Ψ ∗ Ψ ) = ∂ Ψ ∗ ∂ t Ψ + Ψ ∗ ∂ Ψ ∂ t

H es, si sustituimos en − i ℏ ∇ para pag → :

H = 1 2 metro ( pag → − q C A ) ⋅ ( pag → − q C A ) + q ϕ = 1 2 metro ( − i ℏ ∇ − q C A ) ⋅ ( − i ℏ ∇ − q C A ) + q ϕ = 1 2 metro ( i ℏ ∇ + q C A ) ⋅ ( i ℏ ∇ + q C A ) + q ϕ

Ecuación de Schrödinger y su complejo conjugado:

∂ Ψ ∂ t = H Ψ i ℏ

∂ Ψ ∗ ∂ t = ( H Ψ ) ∗ − i ℏ

Suplente en:

∂ ρ ∂ t = − 1 i ℏ [ ( H Ψ ) ∗ Ψ − Ψ ∗ ( H Ψ ) ]

Sustituir en H :

∂ ρ ∂ t = − 1 i ℏ { ( [ 1 2 metro ( + i ℏ ∇ + q C A ) ⋅ ( + i ℏ ∇ + q C A ) + q ϕ ] Ψ ) ∗ Ψ − Ψ ∗ ( [ 1 2 metro ( + i ℏ ∇ + q C A ) ⋅ ( + i ℏ ∇ + q C A ) + q ϕ ] Ψ ) }

Aplicar conjugado complejo:

∂ ρ ∂ t = − 1 i ℏ { ( [ 1 2 metro ( − i ℏ ∇ + q C A ) ⋅ ( − i ℏ ∇ + q C A ) + q ϕ ] Ψ ∗ ) Ψ − Ψ ∗ ( [ 1 2 metro ( + i ℏ ∇ + q C A ) ⋅ ( + i ℏ ∇ + q C A ) + q ϕ ] Ψ ) }

FRUSTRAR:

∂ ρ ∂ t = − 1 i ℏ { ( [ 1 2 metro ( i ℏ i ℏ ∇ 2 + ( − i ℏ ) ∇ ⋅ ( q C A ) + ( q C A ) ⋅ ( − i ℏ ) ∇ + q 2 C 2 A 2 ) + q ϕ ] Ψ ∗ ) Ψ − Ψ ∗ ( [ 1 2 metro ( i ℏ i ℏ ∇ 2 + i ℏ ∇ ⋅ ( q C A ) + ( q C A ) ⋅ ( i ℏ ∇ ) + q 2 C 2 A 2 ) + q ϕ ] Ψ ) }

Multiplica todo:

∂ ρ ∂ t = − i ℏ 2 metro ( ∇ 2 Ψ ∗ ) Ψ + 1 2 metro ( ∇ ⋅ q C A ) Ψ ∗ Ψ + 1 2 metro ( q C A ) ⋅ ( ∇ Ψ ∗ ) Ψ + − 1 i ℏ 1 2 metro q 2 C 2 A 2 Ψ ∗ Ψ + − 1 i ℏ 1 2 metro q ϕ Ψ ∗ Ψ + ( Ψ ∗ ) 1 2 metro ( i ℏ ) ( ∇ 2 Ψ ) + ( Ψ ∗ ) 1 2 metro ∇ ⋅ ( q C A ) Ψ + ( Ψ ∗ ) 1 2 metro ( q C A ) ⋅ ( ∇ Ψ ) + 1 i ℏ ( Ψ ∗ ) 1 2 metro q 2 C 2 A 2 Ψ + 1 i ℏ 1 2 metro ( Ψ ∗ ) q ϕ Ψ

Los términos que contienen ϕ y q 2 C 2 A 2 cancelar y hay un hecho de que Ψ ∇ 2 Ψ ∗ − Ψ ∗ ∇ 2 Ψ = ∇ ⋅ ( Ψ ∇ Ψ ∗ − Ψ ∗ ∇ Ψ ) , entonces

∂ ρ ∂ t = − i ℏ 2 metro ∇ ⋅ ( Ψ ∇ Ψ ∗ − Ψ ∗ ∇ Ψ ) + 1 2 metro ( ∇ ⋅ q C A ) Ψ ∗ Ψ + 1 2 metro ( q C A ) ⋅ ( ∇ Ψ ∗ ) Ψ + ( Ψ ∗ ) 1 2 metro ∇ ⋅ ( q C A ) Ψ + ( Ψ ∗ ) 1 2 metro ( q C A ) ⋅ ( ∇ Ψ )

Tenga en cuenta que de los 5 términos, el 2 y el 4 son iguales, por lo que

(1) ∂ ρ ∂ t = − i ℏ 2 metro ∇ ⋅ ( Ψ ∇ Ψ ∗ − Ψ ∗ ∇ Ψ ) + q metro C ( ∇ ⋅ A ) Ψ ∗ Ψ + q 2 metro C A ⋅ ( Ψ ∇ Ψ ∗ ) + q 2 metro C A ⋅ ( Ψ ∗ ∇ Ψ )

https://en.wikipedia.org/wiki/Probability_current nos dice que el resultado final debería ser ∂ ρ ∂ t = − ∇ ⋅ j y eso

j = 1 2 metro [ ( Ψ ∗ pag ^ Ψ − Ψ pag ^ Ψ ∗ ) − 2 q C A | Ψ | 2 ]

o usando pag ^ = − i ℏ ∇ ,

j = 1 2 metro [ ( Ψ ∗ ( − i ℏ ∇ ) Ψ − Ψ ( − i ℏ ∇ ) Ψ ∗ ) − 2 q C A | Ψ | 2 ]

j = − i ℏ 2 metro ( Ψ ∗ ∇ Ψ − Ψ ∇ Ψ ∗ ) − 1 2 metro 2 q C A | Ψ | 2

j = − i ℏ 2 metro ( Ψ ∗ ∇ Ψ − Ψ ∇ Ψ ∗ ) − q metro C A | Ψ | 2

Aplicar ∂ ρ ∂ t = − ∇ ⋅ j ,

∂ ρ ∂ t = − ∇ ⋅ [ − i ℏ 2 metro ( Ψ ∗ ∇ Ψ − Ψ ∇ Ψ ∗ ) − q metro C A | Ψ | 2 ]

∂ ρ ∂ t = i ℏ 2 metro ∇ ⋅ ( Ψ ∗ ∇ Ψ − Ψ ∇ Ψ ∗ ) + q metro C ∇ ⋅ ( A | Ψ | 2 )

Aplicar una identidad sobre ∇ operando en un escalar multiplicado por un vector en https://en.wikipedia.org/wiki/Vector_calculus_identities ∇ ⋅ ( ϕ B ) = B ⋅ ∇ ϕ + ϕ ( ∇ ⋅ B ) (Cambié las letras),

∂ ρ ∂ t = i ℏ 2 metro ∇ ⋅ ( Ψ ∗ ∇ Ψ − Ψ ∇ Ψ ∗ ) + q metro C ( A ⋅ ∇ ( Ψ ∗ Ψ ) + ( Ψ ∗ Ψ ) ( ∇ ⋅ A ) )

Regla del producto:

∂ ρ ∂ t = i ℏ 2 metro ∇ ⋅ ( Ψ ∗ ∇ Ψ − Ψ ∇ Ψ ∗ ) + q metro C ( A ⋅ ( Ψ ∗ ∇ Ψ ) + A ⋅ ( Ψ ∇ Ψ ∗ ) + ( Ψ ∗ Ψ ) ( ∇ ⋅ A ) )

∂ ρ ∂ t = i ℏ 2 metro ∇ ⋅ ( Ψ ∗ ∇ Ψ − Ψ ∇ Ψ ∗ ) + q metro C A ⋅ ( Ψ ∗ ∇ Ψ ) + q metro C A ⋅ ( Ψ ∇ Ψ ∗ ) + q metro C ( Ψ ∗ Ψ ) ( ∇ ⋅ A )

Reorganizar algunos términos para que podamos comparar con la ecuación (1):

∂ ρ ∂ t = i ℏ 2 metro ∇ ⋅ ( Ψ ∗ ∇ Ψ − Ψ ∇ Ψ ∗ ) + q metro C ( Ψ ∗ Ψ ) ( ∇ ⋅ A ) + q metro C A ⋅ ( Ψ ∇ Ψ ∗ ) + q metro C A ⋅ ( Ψ ∗ ∇ Ψ )

Ahora estamos muy cerca de la ecuación (1),

(1) ∂ ρ ∂ t = − i ℏ 2 metro ∇ ⋅ ( Ψ ∇ Ψ ∗ − Ψ ∗ ∇ Ψ ) + q metro C ( ∇ ⋅ A ) Ψ ∗ Ψ + q 2 metro C A ⋅ ( Ψ ∇ Ψ ∗ ) + q 2 metro C A ⋅ ( Ψ ∗ ∇ Ψ )

pero están apagados por algunos factores de 2 . Ves un error en mis pasos?

Estoy votando para cerrar esta pregunta como fuera de tema porque esta pregunta similar a la tarea es del tipo "verificar mi trabajo" que está explícitamente fuera de tema.
Pregunte acerca de "multiplíquelo" y escribiría ese primer término como Ψ ∂ t ( Ψ ∗ ) en lugar de ( ∂ t ( Ψ ∗ ) ) Ψ para evitar confundirse sobre qué operadores actúan sobre cuáles. O simplemente no deseche un paréntesis, si está ahí, lo necesita. Y aprender a revisar tu trabajo es esencial, todos cometemos errores a veces, pero tienes que ser capaz de revisarlo y revisarlo para hacerlo bien.
@Timaeus: no edité la pregunta original. Acabo de volver a mirar sus últimos comentarios de hoy. Agradezco mucho tu análisis.

Respuestas (1)

Ves un error en mis pasos?

Sí, veo un error de concepto. Así que hablaré de eso.

∂ ρ ∂ t = ∂ ∂ t ( Ψ ∗ Ψ ) = ∂ Ψ ∗ ∂ t Ψ + Ψ ∗ ∂ Ψ ∂ t

debiera ser ∂ ρ ∂ t = ∂ ∂ t ( Ψ ∗ Ψ ) = Ψ ∂ ∂ t Ψ ∗ + Ψ ∗ ∂ ∂ t Ψ

porque ∂ t es un operador, por lo que solo deberíamos tener cosas a la derecha sobre las que actúa. Porque es posible que lo recuerdes ahora, pero luego lo olvidarás y luego cometerás un error. Además, habrá demasiados paréntesis de todos modos.

ahora mira

H = 1 2 metro ( pag → − q C A ) ⋅ ( pag → − q C A ) + q ϕ = 1 2 metro ( − i ℏ ∇ − q C A ) ⋅ ( − i ℏ ∇ − q C A ) + q ϕ

que es igual

1 2 metro ∑ j ( ( i ℏ ∂ j + q C A j ) ( i ℏ ∂ j + q C A j ) ) + q ϕ .

Y estos son operadores, el de la derecha actúa sobre las cosas, luego el siguiente actúa sobre el resultado de eso y así sucesivamente. Piense en ellos como matrices. No imagine ningún vector o producto de puntos, no empiece a pensar que algo (cualquier cosa) es un escalar y no empiece a cambiar el orden de nada. Si no pudieras justificarlo si fuera una matriz, entonces no lo hagas. Simplemente trátelos a todos como matrices. Incluso un campo escalar como A j primero tiene que multiplicar algo, luego una derivada tiene que actuar sobre ese producto (con la regla del producto), de lo contrario lo estás haciendo mal.

Traté de ser más riguroso acerca de mantener el orden de las multiplicaciones como dijiste, pero no pude solucionar el problema. Publiqué la pregunta en los foros de física. TSny señala que al pasar de la expresión después de "Aplicar complejo conjugado:" a la expresión después de "FOIL:" debería estar aplicando algunos de los ∇ operadores tanto para el A así como los siguientes Ψ o Ψ ∗ . Eso esencialmente agrega 2 términos que completan las "cosas que faltan".
No me sorprendería si resulta que mi derivación final resulta ser incorrecta cuando se ve rigurosamente como usted describe. Pero esto (la solución de TSny) es conveniente para un aficionado. Muchas gracias por responder amablemente a esta larga pregunta y por explicar la corrección crítica a la forma en que veo las matemáticas de la mecánica cuántica.
@a00 Cuando aplica de derecha a izquierda, la regla del producto le da los términos adicionales. En SE tenemos políticas contra las preguntas de verificación de mi trabajo, por lo que estaba tratando de apegarme al concepto que pensé que estaba causando el problema. Durante la lámina, es posible que aún haya agregado suficientes paréntesis, pero multiplíquelo definitivamente no lo hará.
Oh, entonces es la asociatividad de derecha a izquierda del operador matemático la razón subyacente. Has añadido el Por qué al Cómo; gracias. Ahora entiendo que comprobar que mis puestos de trabajo no son para lo que está destinado este StackExchange.
@a00 Y es por eso que no fui tan detallado sobre su error como podría haber esperado, pero ahora conoce un concepto importante cuando se trata de operadores y particularmente de operadores diferenciales. Asegúrese de que cada uno actúe primero, el de la derecha actuando primero, luego el de al lado y también actuando sobre el resultado de los más brillantes. Por lo tanto, necesita usar reglas de producto.
Derivar densidad de corriente de probabilidad: factores de discrepancia de 2 [cerrado]
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