Primos gemelos factoriales y primoriales

Preguntas como estas todavía se consideran problemas abiertos, de ahí los argumentos heurísticos en el documento que proporcionó. No tenemos idea de cómo abordar tales problemas actualmente.

Sin representar lo siguiente para constituir una prueba de nada, ofrezco las siguientes observaciones (demasiado largas para ser incluidas como comentarios) y una conjetura sobre primos gemelos de la forma$p\# \pm1$. Se sabe (ver Un teorema de los primos gemelos y una reformulación de la conjetura de los primos gemelos ) que los primos gemelos tienen la forma$6N\pm 1$si y si$N\ne 6ab\pm a\pm b$.

Como todos los primos mayores que$3$tener la forma$6k\pm 1$, todos los primoriales mayores que$6$tendrá la forma$6\cdot (6K\pm 1)$, donde el signo entre$6K$y$1$depende de si los primos hasta$p$presentan un número par o impar de números primos de la forma$6k-1$. Combinando este resultado con el del párrafo anterior, primos gemelos de la forma$p\# \pm 1$ocurrirá cuando$(6K\pm 1)=\frac{p\#}{6}=N$y$N\ne 6ab\pm a\pm b$.

Tenga en cuenta que$(6K\pm 1)$es divisible (una vez) por cada número primo hasta$p$otro que$2$y$3$, y no otros. Nótese además que$K$en sí mismo no es divisible por ningún primo$\le p$con las posibles excepciones de$2$y$3$. (Para$5\le q\le p, q\mid 6K\pm 1$.$q\mid K \Rightarrow q\mid 5K \Rightarrow q\mid (6K\pm 1 -5K)\Rightarrow q\mid (K\pm 1)$lo cual es imposible.) Así que los posibles factores primos de$K$son$2,3,q_j>p$. Para varios primoriales ($p\ge 5$) He calculado valores de$K$y analizó los factores de$K$, y se ajustan al enunciado anterior sobre posibles factores primos de$K$.$3\#$no contiene primos de la forma$6k\pm 1$y queda fuera de este análisis.

Para los dos primoriales que generan primos gemelos ($5\#$y$11\#$),$K$es un poder perfecto de$2$(cualquiera$0$o$6$). La sugerencia es (y entiendo cuán débiles son dos ejemplos de siete) que podría ser el caso de que$p\# \pm 1$son primos gemelos iff$\frac{p\#}{6}\pm 1=6\cdot 2^m$. Mayor seguimiento de esta línea de pensamiento mediante el cálculo de más primoriales y más valores de$K$es difícil de manejar y, en cualquier caso, nunca constituiría una prueba. ¿Alguien puede pensar en una forma matemáticamente rigurosa de analizar estas observaciones? Podría ser útil demostrar para qué valores de$m$ $6\cdot 2^m \pm 1 \ne 6ab\pm a\pm b$, si eso se puede hacer.