Yitang Zhang hizo un descubrimiento innovador cuando demostró que hay infinitos pares de números primos que difieren en menos de .
El teorema de Zhang se ha mejorado significativamente y, según la página de inicio del proyecto Polymath8 ( http://michaelnielsen.org/polymath1/index.php?title=Bounded_gaps_ between_primes ), el mejor límite incondicional hasta la fecha es .
Suponga que el límite se reduce lo suficiente como para probar la conjetura de los primos gemelos. Si esto sucede, entonces se habrá resuelto uno de los problemas sin resolver más famosos de las matemáticas. Pero, ¿qué pasará con la conjetura de Polignac?
La conjetura de Polignac establece que para todo número entero positivo hay infinitos pares de números primos cuya diferencia es . Entonces, dado que la conjetura de los primos gemelos es solo un caso particular de la conjetura de Polignac, probar la primera no implica que la segunda sea cierta.
Sé que probablemente ahora muchos matemáticos están tratando de reducir el límite lo suficiente como para probar la conjetura de los primos gemelos. Pero, ¿se está avanzando hacia la solución de la conjetura de Polignac? ¿Se pueden usar el descubrimiento de Zhang y sus técnicas de alguna manera para avanzar hacia la solución de la conjetura de Polignac, o se debe hacer otro descubrimiento revolucionario? ¿Está ahora más cerca de probarse la conjetura de Polignac o todavía está "fuera de alcance"?
Zhang probó que cualquier conjunto admisible de (o más) números contienen algunos tal que y ambos son primos infinitamente a menudo. Hay un conjunto admisible de este tamaño con valores entre 0 y 70 000 000, por lo tanto, la afirmación de que hay infinitos espacios primos como máximo 70 millones.
El mejor valor probado para hasta ahora es 50, lo que lleva a la brecha de 246 a través de la tupla admisible (0, 4, 6, 16, 30, 34, 36, 46, 48, 58, 60, 64, 70, 78, 84, 88, 90 , 94, 100, 106, 108, 114, 118, 126, 130, 136, 144, 148, 150, 156, 160, 168, 174, 178, 184, 190, 196, 198, 204, 210, 214, 216 , 220, 226, 228, 234, 238, 240, 244, 246).
Pero si quisieras, podrías elegir una tupla diferente que mostrara, por ejemplo, que hay infinitos huecos de primos en un rango diferente. Por ejemplo, la tupla admisible de 50 (0, 4, 10, 16, 22, 30, 34, 42, 46, 52, 60, 64, 70, 76, 84, 90, 94, 100, 106, 112, 126 , 130, 136, 142, 150, 154, 160, 172, 184, 192, 202, 210, 214, 220, 226, 232, 240, 244, 252, 262, 270, 276, 280, 286, 294, 312 , 316, 324, 330, 336) demuestra que hay infinitos huecos primos de longitud entre 4 y 336 (inclusive).*
Entonces, si los métodos actuales se extendieran para probar la conjetura de los primos gemelos, automáticamente probaría la conjetura de Polignac. Ahora, eso podría ser demasiado esperar: el proyecto Polymath ya ha cambiado su metodología de manera significativa en el transcurso de sus varios meses de operación. Pero sirve para mostrar que la conjetura de Polignac no está lejos de la conjetura de los primos gemelos.
Una pregunta razonable, entonces, es "¿puede extenderse tanto el método de Zhang?". Por el momento, la respuesta parece ser "no": incluso asumiendo la conjetura generalizada de Elliott-Halberstam, lo mejor que se ha logrado es lo que significa (a través de la tupla de 3 (0, 2, 6)) que al menos uno de los primos gemelos, primos primos y primos sexis tiene una cantidad infinita de miembros. Pero incluso con esa suposición de alto poder, no podemos reducirlo más.
* De manera similar, puedo mostrar que hay infinitos espacios primos entre 6 y 378, entre 8 y 502, entre 10 y 616, entre 12 y 678, y así sucesivamente. En GEH lo mejor que puedes hacer es a si o a de lo contrario.
cameron williams
Pedro