Prueba de afirmación menor relacionada con la conjetura de los primos gemelos

Question

Prueba de afirmación menor relacionada con la conjetura de los primos gemelos

oeis
Matemáticas
primos-gemelos
teoría de los números
números primos
ecuaciones diofánticas

Geoffrey

Pregunta:

¿Cómo se puede probar que los números enteros de la forma $n=6jk\pm j \pm k;\ j,k\in \mathbb N^*,$ son los únicos que (cuando se multiplican por $6$ ) corresponden a múltiplos de $6$ no entre primos gemelos? ¿Cómo sabemos que no existen otros números enteros tales que cuando se multiplican por $6$ sus productos tampoco están entre primos gemelos?

Contexto:

Hace unos años, hice esta pregunta con la esperanza de que alguien pudiera tener algún consejo sobre cómo abordar las ecuaciones diofánticas de este tipo. No hay tal suerte.

Específicamente, la pregunta tiene que ver con encontrar soluciones enteras. $n, j, k \in \mathbb N^*$ a la siguiente ecuacion

norte = 6 j k \pm j \pm k

$n=6jk\pm j\pm k$

Como todo par de primos gemelos debe tener un múltiplo de $6$ entre ellos, es una cuestión simple mostrar que los números enteros, $n$ , de esta forma corresponden a múltiplos de $6$ que no marcan un par primo gemelo, es decir $6n+1$ o $6n-1$ no es primo.

El razonamiento es simplemente que siempre que un múltiplo de $6$ es divisible por un número entero uno menor o uno mayor que algún otro múltiplo de $6$ , entonces hay un múltiplo cercano de $6$ que es adyacente a un múltiplo de ese mismo número uno menos o uno mayor. Por ejemplo, $30$ es divisible por $5$ , entonces tampoco $24$ ni $36$ pueden caer entre primos gemelos ya que son adyacentes a $25$ y $35$ respectivamente. Asimismo, $210$ es múltiplo de $6$ que no está entre primos gemelos ya que $209=11\times 19$ , y esto se puede determinar con la fórmula ya que $210=6\times 35$ , $35=33+2$ , y $33$ es múltiplo de $11=6\times 2 -1$ .

En otras palabras, esta ecuación actúa como un tamiz seleccionando múltiplos de $6$ que definitivamente no son vecinos de primos gemelos. Por lo tanto, esta línea de razonamiento impone una condición necesaria a cualquier posible candidato a prima gemela.

¿Es esta condición no sólo necesaria sino suficiente?

El colaborador de OEIS, Jon Perry, parece pensar que es suficiente, ya que afirma aquí que "6n-1 y 6n+1 son primos gemelos si y solo si n no tiene la forma 6ab +- a +- b".

La prueba del condicional es bastante sencilla (como ya he explicado), pero lo contrario es mucho menos obvio para mí.

¿Cómo se puede probar que "si $n$ no es de la forma $6ab\pm a \pm b$ , entonces $6n-1$ y $6n+1$ son primos gemelos"?

Respuestas (1)

Prueba de afirmación menor relacionada con la conjetura de los primos gemelos

Donald balbuceo · Answer 1

Supongamos que tenemos $n$ que no se puede expresar en la forma $6ab \pm a \pm b$ (para todos $a,b \in \mathbb{N}$ ).

Ahora supongamos $6n-1$ no es primo, entonces $6n-1=(6a'+1)(6b'-1)$ (para algunos $a',b' \in \mathbb{N}$ ) contradiciendo la hipótesis.

O supongamos $6n+1$ no es primo, entonces $6n+1=(6a'+1)(6b'+1)$ (para algunos $a',b' \in \mathbb{N}$ ) o $6n+1=(6a'-1)(6b'-1)$ (para algunos $a',b' \in \mathbb{N}$ ) de cualquier manera, contradiciendo la hipótesis.

si un numero $n$ que no se puede expresar en la forma $6ab \pm a \pm b$ entonces $6n \pm 1$ será un par primo y los pares primos solo pueden ser generados por $n$ con esta propiedad (aparte del par $(3,5)$ ).

$6n-1=(6a+1)(6b-1)\iff n=6ab-a+b$ y no todos $n$ se puede escribir de esta manera.
En su mayor parte, entiendo el argumento, pero no veo por qué (por ejemplo) $6n-1=(6a'+1)(6b'-1)$ . ¿Por qué puede hacer esta afirmación tan específica sobre los factores de $6n-1$ ? Por lo que puedo decir, lo único que podemos decir con certeza sobre $6n-1$ es que se puede descomponer en el producto de dos números enteros, al menos uno de los cuales es primo (y, por lo tanto, se puede escribir como $6a'\pm 1$ ). ¿Cómo sabemos que definitivamente se puede escribir como el producto de dos números que difieren de un múltiplo de 6 por 1 en la forma en que lo has escrito?
Si $m=6n-1$ entonces $m \equiv 5 \mod 6$ . La única forma de emparejar números (módulo 6) que se multiplicarán para dar $5$ son $1$ & $5$ . Así que si $M=AB$ entonces $A \equiv 1 \mod 6$ y $B \equiv 5 \mod 6$ (O al revés)
Por supuesto. Eso tiene perfecto sentido. ¡Gracias por la respuesta!

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Geoffrey

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