Demostrar que existen infinitos números primos de raíz digital 2,52,52,5 o 888

Para raíz digital decir$2$, use el hecho de que hay infinitos números primos de la forma$2+9k$. Esta es una consecuencia del Teorema de Dirichlet sobre los números primos en las progresiones aritméticas.

La prueba propuesta por OP de infinitos números primos con raíces digitales$1,4,7$no está completo (aunque la conclusión se deriva del teorema de Dirichlet al igual que para las raíces digitales$2,5,8$).

La idea se inspiró en la prueba de Euclides de la infinitud de los números primos. Consideramos la expresión:

dónde$\{p_1,p_2,\ldots,p_n\}$es un conjunto finito (no vacío) de números primos.

Ahora$b$es obviamente mayor que$1$y por lo tanto tiene un divisor primo$q$. Pero ese primo divisor no puede ser igual a ninguno de los primos multiplicados$p_1,p_2,\ldots,p_n$ya que eso implicaría$1$es divisible por$q$. Entonces no hay un conjunto finito de todos los números primos. no podemos decir eso$b$en sí mismo es primo.

En el resto de esta publicación restringiremos la discusión a la construcción$b$multiplicando el$n$primos más pequeños (y sumando$+1$). En ese caso el factor primo$q$debe ser mayor que cualquiera de los$n$primos más pequeños. Pero de nuevo no hay afirmación (o prueba) de que$b$siempre es primo. Aunque se ha conjeturado que$b$es primo infinitamente a menudo , incluso esto aún no está probado.

cuando tal$b$pasa a ser primo, se llama Primorial Prime . Para obtener listas parciales de tales casos, consulte la secuencia OEIS A014545 y The Top Twenty Primorial Primes .

Lo que uno puede argumentar (como lo hace el OP) es que para$n\gt 2$, el residuo de$b$modificación$3$será$1$, y por lo tanto las posibles raíces digitales (esencialmente los residuos mod$9$) de$b$son$1,4,7$.

Como no se sabe que$b$será primo infinitamente a menudo, esto no garantiza infinitos primos con incluso una de las raíces digitales$1,4,7$.

Además los factores primos$q$de compuesto (no primo)$b$no necesita tener residuos$1,4,7$modificación$9$. El primer ejemplo compuesto ilustra esto:

Tenga en cuenta que en este caso ambos factores primos tienen raíz digital$5$.

Teorema de Dirichlet , que cualquier progresión aritmética$ka + b$para fijo$a,b$coprimos entre sí contiene infinitos números primos, es muy poderoso. Es desafortunado que su prueba use la maquinaria del análisis complejo, por lo que se han hecho varios intentos para producir pruebas "elementales" de esto. A. Selberg (1949) publicó un artículo, Una prueba elemental del teorema de Dirichlet sobre los números primos en una progresión aritmética , que (basado en su éxito al demostrar el teorema de los números primos sin un análisis complejo) es "elemental" en ese sentido.

Por otro lado, la teoría de números "elemental" utilizada es bastante complicada e inequívocamente involucra algunos análisis difíciles que estiman sumas finitas.

Hay un ejercicio fácil muy conocido para demostrar que existen infinitos números primos de la forma$4n+3$, pero no repetiré su prueba aquí. Se puede probar una variedad de casos de manera similar (mostrar infinitos números primos de la forma$an+b$para coprime$a,b$), pero también hay casos en los que este sencillo enfoque falla.

Para el lector interesado sugeriré los problemas de probar infinitos números primos de la forma$9n+8$y (no tan fácil) de la forma$9n+1$.