¿Cómo es útil la constante de los primos gemelos? ¿Qué valor proporciona sobre la constante de Brun?

Question

¿Cómo es útil la constante de los primos gemelos? ¿Qué valor proporciona sobre la constante de Brun?

constantes
Matemáticas
primos-gemelos
números primos

Larry Freeman

\prod_{pag > 2 y un primo} (1 - \frac{1}{(pag - 1)^{2}}) = 0.6601618158 \dots

$\prod_{p > 2 \text{ and a prime }}\left(1 - \frac{1}{(p-1)^2}\right) = 0.6601618158\ldots$

Parece que en este caso $p$ no tiene que ser un número primo. Pero si eso es cierto, ¿por qué se llama la constante de los primos gemelos?

La constante de Brun es:

\frac{1}{3} + \sum_{pag > 3 y pag, pag + 2 son primos} (\frac{1}{pag} + \frac{1}{pag + 2}) = 1.902160540 \dots

$\frac{1}{3} + \sum_{p>3 \text{ and } p,p+2 \text{ are primes }}\left(\frac{1}{p} + \frac{1}{p+2}\right) = 1.902160540\ldots$

La constante de Brun me parece sencilla. La suma del recíproco de los primos gemelos converge, por lo que no hay prueba en la suma de los recíprocos para la infinitud de los primos gemelos.

No tengo claro qué hacer con la constante de los primos gemelos. ¿Qué valor da? ¿Cómo lo usó Merten cuando se le ocurrió? ¿Por qué es interesante?

vectornauta

¿Quiere decir, "Parece que en este caso

p

$p$ no tiene que ser un primo gemelo "?

Michael Hardy

Un pequeño punto: como está escrito, el primer término de la segunda suma es

\frac{1}{3} + \frac{1}{5}

$\dfrac 1 3 + \dfrac 1 5\vphantom{\dfrac{\displaystyle\int}{\displaystyle\int}}$ y el segundo es

\frac{1}{5} + \frac{1}{7}

$\dfrac 15 + \dfrac 17\vphantom{\dfrac{\displaystyle\int}{\displaystyle\int}}$ , entonces

\frac{1}{5}

$\dfrac 15\vphantom{\dfrac{\displaystyle\int}{\displaystyle\int}}$ aparece dos veces. ¿Es eso estándar y es como debería ser?

${}\qquad{}$

Wojowu

Por un lado, aparece en la estimación asintótica conjeturada del número de primos gemelos en.wikipedia.org/wiki/…

Larry Freeman

@Vectomaut, sí, mi pregunta es sobre

p

$p$ . no tengo claro si

p

$p$ tiene que ser un primo gemelo o no. Basado en la lectura del artículo de Math World, no estaba claro.

Larry Freeman

@Michael, muy buen punto. Yo lo arreglare.

Larry Freeman

@Wojowu, ¡muchas gracias! Esa es la respuesta que estaba buscando y también la aclaración si se basa en todos los primos.

p

$p$ o simplemente los primos gemelos.

Respuestas (3)

¿Cómo es útil la constante de los primos gemelos? ¿Qué valor proporciona sobre la constante de Brun?

¿Quiere decir, "Parece que en este caso $p$ no tiene que ser un primo gemelo "?
Un pequeño punto: como está escrito, el primer término de la segunda suma es $\dfrac 1 3 + \dfrac 1 5\vphantom{\dfrac{\displaystyle\int}{\displaystyle\int}}$ y el segundo es $\dfrac 15 + \dfrac 17\vphantom{\dfrac{\displaystyle\int}{\displaystyle\int}}$ , entonces $\dfrac 15\vphantom{\dfrac{\displaystyle\int}{\displaystyle\int}}$ aparece dos veces. ¿Es eso estándar y es como debería ser? ${}\qquad{}$
Por un lado, aparece en la estimación asintótica conjeturada del número de primos gemelos en.wikipedia.org/wiki/…
@Vectomaut, sí, mi pregunta es sobre $p$ . no tengo claro si $p$ tiene que ser un primo gemelo o no. Basado en la lectura del artículo de Math World, no estaba claro.
@Wojowu, ¡muchas gracias! Esa es la respuesta que estaba buscando y también la aclaración si se basa en todos los primos. $p$ o simplemente los primos gemelos.

Wojowu · Answer 1

Esta constante aparece en la estimación asintótica conjeturada sobre el número de primos gemelos por debajo de un tamaño dado, ver aquí . También es digno de mención que esta constante no solo se tomó de la nada, sino que en realidad se puede derivar heurísticamente a través del modelo aleatorio de Cramer.

Esta debería ser la respuesta aceptada. La constante de los primos gemelos es relevante para la densidad asintótica de los primos gemelos.

Zev Chonoles · Answer 2

Parece llamarse la "constante de primos gemelos" porque aparece mucho en teoremas y conjeturas sobre números primos gemelos. Por ejemplo, de la página MathWorld relevante :

Andrei Allakhverdov · Answer 3

@LarryFreeman Creo que comprenderá mejor el significado de la constante de los primos gemelos si la escribe en la forma

C_{2} = \frac{\prod_{pag ⩾ 3} (1 - \frac{2}{pag})}{\prod_{pag ⩾ 3} {(1 - \frac{1}{pag})}^{2}} = \prod_{pag ⩾ 3} \frac{pag (pag - 2)}{(pag - 1)^{2}} .

$C _2 = \frac {{ \prod_\limits{p \geqslant 3 }} \left( 1 -\frac {2}{ p} \right)} {{ \prod_\limits{p \geqslant 3 }} \left( 1 - \frac 1 p \right)^2} = { \prod \limits_{p \geqslant 3 }} \, \frac{p(p-2)}{(p-1)^2}.$

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