¿Los primos gemelos satisfacen la congruencia? [duplicar]

Por el teorema de Wilson ,$(p-1)!\equiv-1\bmod p$si y solo si$p$es un primo. Así que asume que$6n-1$y$6n+1$son primos. Entonces$(6n-2)!\equiv-1\bmod(6n-1)$, y$(6n)!\equiv-1\bmod(6n+1)$. La segunda congruencia se puede reescribir como$(6n-2)!\equiv-1(-1)^{-1}(-2)^{-1}=-2^{-1}\bmod(6n+1)$.

Multiplicando ambas congruencias por$4$rendimientos

Ahora sólo tenemos que comprobar que estos son efectivamente los residuos de$-3(1+2n)$.

Escribiendo tus primos gemelos como$(p, p+2)$, su observación se puede reescribir como:

$4(p-1)! = -4-p$(modificación$p^2 + 2p$).

Esto se conoce como el teorema de Clement .

Tenga en cuenta, por cierto, que esta es una declaración si y solo si: la relación anterior se cumple si y solo si$(p, p+2)$son primos gemelos.

(Y sí, el teorema de Wilson generalmente se usa para probar el teorema de Clement. Cf. Teorema 2 aquí ).

Daré algunos detalles sobre el teorema de Clement. El resto lo puedes completar.

Para n > 1, considere que n, n + 2 son primos gemelos si y sólo si 4(n-1)!+1 +n = 0 (mod n(n+2)). Del teorema de Wilson tenemos (n-1)!+ 1= 0 (mod n) . 4(n-1)! + 1 + n = 4(0)+n = 0 (módulo n). Dado que n + 2 también es primo, (n+1)!+ 1 = 0 (mod n+2) y 4(n-1)! + 1 +n = 2[2(n-1)!+2] + n = 2[(-1)(-2)(n-1)!+2]+n = 0 (mod (n+2) ).