Primos + Inetvel + conjetura sobre primos

Una respuesta parcial:

a) El dígito de la unidad siempre es 1 o siete porque no es posible terminar con un número de la forma$n^2+1$con un dígito unitario de 9 o 3, y 5, si bien es posible, implica que el número es divisible por 5.

b) Enchufe$n=1000000$(Funciona como el intervalo).

c) No tienen nada (intrínsecamente) que ver entre sí.

si cada par$n\ge4$se puede escribir como una suma de dos números primos, entonces todo número entero$m\ge6$se puede escribir como$2+r$o$3+r$dónde$r\ge4$es par, por lo tanto$m$puede escribirse como una suma de tres números primos.

Respuesta para$(a)$: Si el dígito de la unidad de$n$es un número impar, entonces$n^2+1$es divisible por$2.$Si el dígito de la unidad es$2$o$8$, entonces$n^2+1$es divisible por$5.$Si el dígito de la unidad es$0$, entonces el último dígito de$n^2+1$es$1.$Si el dígito de la unidad es$4$o$6$, entonces el último dígito de$n^2+1$es$7.$

a) Además de la respuesta de B Sahu:

$2=1^2+1$;$5=2^2+1$. En el resto de esta demostración, sea$p$sea ​​un primo desigual a 2 o 5.

$p$es coprimo de 10, por lo que el dígito de su unidad no puede ser ni par ni 5, y tampoco lo es 1, 3, 7 o 9.

Si$p=n^2+1$entonces$n^2$es así$n$incluso. Trabajando módulo 10 y comprobando las posibilidades pares de$n$:

• $n=0$medio$p=0^2+1=1$entonces$p$El dígito de las unidades puede ser 1.
• $n=2$o 8 significa$p=2^2+1=5$pero el único caso principal aquí es$p=5$, señalado anteriormente.
• $n=4$o 6 medios$p=4^2+1=7$entonces$p$El dígito de las unidades puede ser 7.

El hecho de que$p=7$para$2/5$de incluso$n$, pero$p=1$Por sólo$1/5$de incluso$n$explica por qué el 7 aparece como un dígito de unidades el doble de veces que el 1.

No solamente eso, pero$p=1\mod 10$sólo si$n=0\mod 10$, entonces$100\mid n^2$, entonces$p=n^2+1=1\mod 100$. Por eso, ¿por qué cuando$p$termina en 1,$p$termina en 01. Y$n=4$o$6\mod10$significa que$n$es par, entonces$4\mid n^2$. Como$n^2=6\mod 10$, eso implica$n^2=16\mod 20$. Por eso, ¿por qué cuando$p$termina en 7,$p$El dígito de las decenas es impar.