algunos problemas relacionados con números primos

a) La prueba es una modificación de la prueba de "Euclides" de que hay infinitos números primos. Dejar$p_1=3$. Poniendo$x=1$y$y=1$, vemos eso$1+x+x^2=py$tiene solución

Supongamos ahora que hemos encontrado$n$números primos$p_1,p_2,\dots,p_n$tal que$1+x+x^2=p_iy$tiene una solución para cualquier$i$de$1$a$n$. Exhibimos un nuevo primo$p_{n+1}$tal que$1+x+x^2=p_{n+1}y$tiene solución

Considere el número$1+(p_1p_2\cdots p_n)+(p_1p_2\cdots p_n)^2$. este es un numero entero$\gt 1$, por lo que tiene un divisor primo$p_{n+1}$. Cualquiera de esos$p_{n+1}$debe ser distinto de$p_1,p_2,\dots,p_n$. Esto es porque si$p_{n+1}=p_i$, dónde$1\le i\le n$, entonces$p_i$divide$(p_1p_2\cdots p_n)+(p_1p_2\cdots p_n)^2$, por lo que no se puede dividir$1+ (p_1p_2\cdots p_n)+(p_1p_2\cdots p_n)^2$.

Así hemos encontrado un nuevo primo$p_{n+1}$tal que$1+x+x^2=p_{n+1}y$tiene solución

b) El número$5$pertenece a las parejas$(3,5)$y$(5,7)$. Está claro que$2$no pertenece a ninguna pareja, y$3$pertenece solo a$1$par. Demostramos que cualquier primo$p\ge 7$no puede pertenecer a más de una pareja. Supongamos por el contrario que$p$hace. Entonces$p-2$,$p$, y$p+2$son primos Tenga en cuenta que si$x$es cualquier número entero, entonces uno de$x-2$,$x$, o$x+2$es divisible por$3$. Un número divisible por$3$y mayor que$3$no puede ser primo.

Para la segunda parte de la pregunta, preguntamos cuándo$d(n^2-1)=4$. Si$n$es par, entonces$n-1$y$n+1$son relativamente primos, por lo que$d((n-1)(n+1))=d(n-1)d(n+1)$. Pero$1$es el único$k$tal que$d(k)=1$. Entonces debemos tener$d(n-1)=d(n+1)=2$. Eso obliga a la pareja$(n-1,n+1)$ser un par de primos gemelos.

Ahora examina el caso$n$extraño. Entonces$(n-1)(n+1)$es divisible por$8$, también los divisores$1$,$2$,$4$y$8$. Desde$d(n^2-1)=4$, no puede tener otros. De este modo$n^2-1=8$, donación$n=3$.

Entonces el conjunto$A$de numeros$n-1$tal que$d(n^2-1)=4$consiste en$2$más los primos más pequeños en un par de primos gemelos. Este conjunto se puede poner fácilmente en correspondencia uno a uno con el conjunto$B$de primos más pequeños en pares de primos gemelos. Simplemente enumere los dos conjuntos como$a_1,a_2,\dots$y$b_1,b_2,\dots$y mapa$a_i$a$b_i$.

Pero el bit de correspondencia uno a uno no tiene absolutamente nada que ver con los números primos gemelos. Porque dos conjuntos infinitos cualesquiera de números naturales se pueden poner en correspondencia uno a uno. Entonces, para probar que hay una correspondencia uno a uno, no necesitamos haber hecho ningún análisis de la$n$tal que$d(n^2-1)=4$.