Una conjetura sobre la función de conteo de números primos

Suponer$\Delta(m,n-1)>\Delta(m,n)$, entonces

$$\pi(mn-m)-\pi(m)\pi(n-1)+1>\pi(mn)-\pi(m)\pi(n)+1\\\pi(m)\pi(n)-\pi(m)\pi(n-1)>\pi(mn)-\pi(mn-m)\geq 0\\\pi(n)>\pi(n-1)$$ entonces $n$debe ser primo, ya que $\pi(x)$aumenta en $n$.

Si$n$es primo, entonces$\pi(n)=\pi(n-1)+1$, para que podamos transformar$\Delta(m,n-1)\geq\Delta(m,n)$como sigue:

$$\pi(mn-m)-\pi(m)\pi(n-1)+1\geq\pi(mn)-\pi(m)\pi(n)+1\\ \pi(m)\pi(n)-\pi(m)\pi(n-1)\geq\pi(mn)-\pi(mn-m)\\ \pi(m)\geq\pi(mn)-\pi(mn-m)$$ Esto es equivalente a casos específicos de la segunda conjetura de Hardy-Littlewood . Obviamente, no obtenemos una generalidad completa, pero, sin embargo, dudo seriamente que se sepa algo sobre esto. Aunque se cree que la conjetura mencionada es falsa, este caso especial también podría ser cierto.

Por último, si$n$es primo impar, entonces$n+1$no lo es, entonces$\pi(n+1)=\pi(n)$, tan transformador$\Delta(m,n+1)\geq\Delta(m,n)$conseguimos fácilmente

$$\pi(mn+m)\geq\pi(mn)$$ lo cual es claramente cierto.

Para resumir:

La primera parte de tu conjetura es cierta. De hecho, ya$\Delta(m,n-1)>\Delta(m,n)$implica$n$es primo

Primalidad de$n$implica$\Delta(m,n+1)\geq\Delta(m,n)$, pero si implica$\Delta(m,n-1)\geq\Delta(m,n)$es muy probable que sea un problema abierto.