Una conjetura sobre la cercanía de los números primos gemelos

Dejar$p_1$y$p_2$sean primos gemelos, y sean$p_1-1=a_1\times b_1$y$p_2+1=a_2\times b_2$ser tal que$|b_1-a_1|$y$|b_2-a_2|$se minimizan. Del mismo modo, deja$p_1+1=p_2-1=a\times b$ser tal que$|b-a|$se minimiza

Ahora suponga la conjetura de los primos gemelos y sea

$$\mathcal P_n=\frac{\#\text{twin primes} \le n:\min\{|b_1-a_1|,|b-a|,|b_2-a_2|\}\neq|b-a|}{\#\text{twin primes} \le n}$$ ¿Cuál es el valor de$\mathcal P_\infty$?

_{Nótese que por convención el par$(2,3)$no son primos gemelos.}

Para primos gemelos menores que$100$, tenemos eso$p_1=5,17$. Por lo tanto, creo que si hay infinitos números primos de este tipo, serán excesivamente escasos.

Aquí hay una tabla que muestra$\mathcal P_n$para valores crecientes de$n$. Créditos a Enzo Creti por ejecutar el programa.

$$\small\begin{array}{c|c}\log_{10}n&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11\\\hline \mathcal P_n&\frac12&\frac14&\frac{17}{35}&\frac{93}{205}&\frac{600}{1224}&\frac{4326}{8169}&\frac{31939}{58980}&\frac{243876}{440312}&\frac{1928700}{3424506}&\frac{15661079}{27412679}&\frac{129632703}{224376048}\\\hline\text{decimal}&\small 0.5&\small0.25&\small0.4857&\small0.4537&\small0.4902&\small0.5296&\small0.5415&\small0.5539&\small0.5632&\small0.5713&\small0.5777\end{array}$$

Esto se puede ver más claramente en el siguiente gráfico; más interesante es el comportamiento después$n=10^4$.

Hay un ligero descenso en$n=10^2,10^4$pero por lo demás parece que hay un aumento convergente en$\mathcal P_n$. Es poco probable, pero si llega a un punto en el que$\mathcal P_k=\mathcal P_{k+1}$entonces la conjetura de los primos gemelos será refutada.