Preguntas sobre la definición épsilon-delta de un límite

La definición es correcta. Tenga en cuenta que hacer$\epsilon$más grande hace la condición

"Para todos$x$literalmente significa "para todos$x$". Eso es,$x$puede ser cualquier cosa , ¡ni siquiera necesariamente un número! No es necesario mencionar$x$ser un número o requerir$0<|x-a|<\delta$en esta parte, ya que si esa desigualdad no es verdadera, entonces la implicación

(Para ser claro, para que esto tenga sentido, debe interpretar$|f(x)-L|<\epsilon$como falso si$x$no es un número real en el dominio de$f$y de manera similar$0 < |x - a| < \delta$como falso si$x$no es un número real. De esa manera, puede asignar un valor de verdad a la implicación sin importar qué$x$es.)

1. La definición es precisa. Todos los intervalos son, por definición, contiguos, si eso es lo que quiere decir con "continuo". Las funciones son continuas, pero la continuidad no está definida para un intervalo.

2. Esto es lo que pasa con los límites: simplemente no le preocupa el comportamiento de la función lejos del punto$a$: SÓLO te preocupa el comportamiento de$f(x)$CERCA$a$. ¿Qué tan cerca? Tan cerca como cualquiera (no tú) quiere. En otras palabras, los límites hacen la pregunta: ¿Qué sucede cuando sigues acercando, y acercando, y acercando, ... Pero en realidad no llegas a$a$. Así que no elegirías un épsilon grande. Epsilon siempre se considera un número muy pequeño. Para el caso, también lo es delta.

¡Estás haciendo todas las preguntas correctas!

Déjame darte un ejemplo extremo. Entonces te responderé a tu pregunta.

Dejar$f(x)$entonces la función que.

Si$x$entonces es irracional$f(x) = 2+x$.

Si$x = \frac ab$dónde$\frac ab$es un número racional en "términos mínimos", entonces$f(x) = 2 + \frac 1{b}$. (Supondremos que el denominador no es negativo aunque el numerador podría serlo).

Entonces$f(0)$es indefinido (como$2 + \frac 1n)$no está definido) y esta extraña función ciertamente no es continua. No entraré (en este momento) en el significado exacto de continuo, pero pueden ver que salta de$2$a$2 \frac 1{b}$como$x$va de valores racionales a irracionales y como racionales con denominadores bajos o infinitamente cerca de racionales con denominadores altos, salta como una pulga.

Reclamo 1:$\lim_{x\to 0} f(x) = 2$.

Reclamación 2:$\lim_{x \to 1}f(x) \ne 3$

Reclamación 3:$\lim_{x \to 1}f(x) = k$será falso pase lo que pase$k$nosotros elegimos

para demostrar que$\lim_{x\to 0} f(x) = 2$queremos mostrar que podemos "forzar" el$f(x)$s para estar "muy cerca de$2$"Si obligamos a la$x$s para estar "muy cerca" de$0$.

Si queremos el$f(x)$es estar dentro$\frac 14$de$2$podemos forzar la$x$s estar dentro de un$\frac 14$de$0$. Si$|x| < \frac 14$entonces tambien$x$es irracional o$x =\frac ab$para algunos$a,b$.

Si$x$es irracional entonces$f(x) = 2+x$.$x$está dentro$\frac 14$de cero, entonces$f(x)$está dentro$\frac 14$de$2$.

Si$x= 0$tenemos un problema en eso$f(x)$indefinido. Bueno, eso no es realmente un problema porque estamos interesados ​​en el comportamiento de$f(x)$ cerca $0$. no en $0$.

Si$x = \frac ab$es racional y$x \ne 0$y$|x| < \frac 14$entonces$b \ge 4$y$\frac 1b < \frac 14$. Eso significa$f(x) = 2 + \frac 1b$es tal que$2 < f(x) < 2 + \frac 14$entonces$f(x)$Es con$\frac 14$de$2$.

Así que forzamos$f(x)$estar dentro$\frac 14$de$2$forzando$x$estar dentro$\frac 14$de$0$.

Ese fue un ejemplo, ¿podemos encontrar algo para todas las opciones de qué tan cerca queremos estar?

Si queremos$f(x)$estar dentro$\epsilon$de$2$para cualquier valor muy muy pequeño de$\epsilon$, podemos hacer esto forzando$x$estar dentro$\delta = \epsilon$de$0$.

Si$x$es irracional,$f(x) = 2+x$. Pero$x$está dentro$\epsilon$de$0$entonces$f(x)$está dentro de épsilon de$2$.

Si$x$es racional y$x = \frac ab; a\ne 0$y$|\frac ab | < \delta = \epsilon$. Entonces$b > \frac 1{\epsilon}$. ENTONCES$f(x) = 2 + \frac 1b < 2 + \epsilon$. Entonces$f(x)$está dentro$\epsilon$de$2$.

Entonces eso lo hace. podemos forzar$f(x)$estar tan cerca de$2$como queramos forzando$x$estar a cierta distancia de$0$.

Afirmación 2: Intentar forzar$f(x)$estar cerca de$3$forzando$x$estar cerca de$1$.

Intentemos forzar$f(x)$estar dentro$\frac 14$de$3$.

Bueno, importa lo cerca que elegimos$x$ser$1$encontraremos un racional,$r$con un denominador mayor que$4$y$f(x) = 2 +\frac 14 < 2+\frac 14$y eso no sera dentro$\frac 14$de$3$.

De hecho para cualquier$x < 1$o$x > 1$que elegimos, encontraremos que siempre podemos encontrar que hay un número entero$N > \frac 1{|x-1|}$y también$x < 1 - \frac 1N$o$1+ \frac 1N<x$y entonces$f(1 \pm \frac 1N ) = 2 + \frac 1N$pero también habrá una irración$y$de modo que$x < y < 1$o$1 < y < x$. y$f(x)$está dentro$|x-1|$de$3$.

Así que no podemos forzar$f(x)$acercarse a cualquier cosa en$x=1$.

....

Esperemos que eso aclare la definición.

$\lim_{x\to a} f(x) = L$medio

Para cualquier distancia$\epsilon > 0$, por pequeño que sea, podemos forzar$f(x)$estar dentro$\epsilon$de$L$(es decir, fuerza$|f(x) - L | <\epsilon$), al encontrar un$\delta$para que siempre que tengamos$x$dentro$\delta$de$a$(es decir$|x - a| < \delta$) tendremos que tener$|f(x) - L | < \epsilon$.

Así que vamos con tus preguntas:

1) "Supongo que el intervalo abierto solo significa algo de la forma (a, b) que no incluye puntos finales, pero ¿no necesitamos también que ese intervalo sea continuo?"

El intervalo abierto está alrededor de las entradas cerca$a$. No tiene nada que ver con las salidas . $f(x)$, que puede saltar como pulgas (siempre que el salto sea cada vez más pequeño para$x$está cerca$a$.

Así que todo esto dice que hay una pequeña área alrededor$a$donde todos los$x$alrededor$a$tendrá$f(x)$bien definido.

2) "Estoy confundido acerca del uso de "para todos". ¿Quieren decir literalmente para todos los x?

No. Se refieren a todos$x$de modo que$|x - a| < \delta$. En otras palabras, se refieren a todos los$x \in (a-\delta,a+\delta)$.