Demostrar que el límite no existe usando la definición epsilon-delta

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Demostrar que el límite no existe usando la definición epsilon-delta

limites
cálculo
Matemáticas
epsilon-delta

wvxvw

Probar $\lim_{x \to 0}\frac{x}{x-\lfloor \sin x \rfloor}$ no existe

Puedo probar la misma afirmación usando la definición de Heine mostrando que las secuencias $\{x_n\}=\frac{\pi}{2n}$ y $\{x_m\} = -\frac{\pi}{2m}$ convergen a 0, pero los valores de la función en estas sucesiones divergen.

En la prueba de definición puedo llegar tan lejos:

Supongamos que el límite existe en $x_0 = 0$ , entonces escoge $\epsilon = \frac{1}{2}$ (Sé que esto debería fallar porque como $x$ se aproxima a cero por la izquierda, tiende a cero y como $x$ se aproxima a cero por la derecha tiende a 1). Desde $x \in (-\sigma, \sigma)$ esto debería contener:

- \frac{1}{2} < \frac{σ}{σ - ⌊ pecado σ ⌋} - L < \frac{1}{2} - \frac{1}{2} < \frac{- σ}{⌊ - pecado σ ⌋ - σ} - L < \frac{1}{2}

$-\frac{1}{2} < \frac{\sigma}{\sigma - \lfloor \sin \sigma \rfloor} - L < \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} < \frac{-\sigma}{\lfloor -\sin \sigma \rfloor -\sigma} -L < \frac{1}{2}$

Aquí empieza mi problema. Creo que de la primera ecuación necesitaría derivar eso $L \geq 1$ y del segundo: $L \leq 0$ . Pero no hay forma de que pueda llegar a estos valores.

Más importante aún, estoy tratando de descubrir un procedimiento general para resolver tales preguntas, esto es lo que "descubrí" hasta ahora:

Adivinar $\epsilon$ (mediante el cálculo de varios valores de la función cerca de $x_0$ ).
Asumir $x \in (-\sigma, \sigma)$ .
Escribe dos desigualdades: $-\epsilon < f(\sigma) - L < \epsilon$ y $-\epsilon < f(-\sigma) - L < \epsilon$ .
Aplique series de transformaciones algebraicas a ambas desigualdades hasta que la contradicción sea aparente.
La prueba está completa en este punto.

¿Suena esto como un enfoque razonable?

rober arthan

si realmente quieres decir

⌊ \sin x ⌋

$\lfloor \sin x \rfloor$ , entonces esto es bastante fácil: el piso de

\sin x

$\sin x$ es

- 1

$-1$ para

x

$x$ cerca y menos que

0

$0$ y es

0

$0$ para

x

$x$ cerca y mayor que

0

$0$ . Así que los límites izquierdo y derecho en

0

$0$ son claramente diferentes.

wvxvw

@RobArthan sí, me refiero al piso. Me equivoqué la primera vez que lo escribí. Y sí, tengo todas las razones para creer que debería ser simple y, sin embargo, estoy haciendo esta pregunta.

Respuestas (2)

Demostrar que el límite no existe usando la definición epsilon-delta

si realmente quieres decir $\lfloor \sin x \rfloor$ , entonces esto es bastante fácil: el piso de $\sin x$ es $-1$ para $x$ cerca y menos que $0$ y es $0$ para $x$ cerca y mayor que $0$ . Así que los límites izquierdo y derecho en $0$ son claramente diferentes.
@RobArthan sí, me refiero al piso. Me equivoqué la primera vez que lo escribí. Y sí, tengo todas las razones para creer que debería ser simple y, sin embargo, estoy haciendo esta pregunta.

rober arthan · Answer 1

Pista: cuando $0 < x < \pi$ , $\lfloor \sin x \rfloor = 0$ , de modo que $\frac{x}{x - \lfloor \sin x \rfloor} = 1$ . Cuando $-\pi < x < 0$ , $\lfloor \sin x \rfloor = -1$ , de modo que $\frac{x}{x - \lfloor \sin x \rfloor} = \frac{x}{x + 1}$ . Llevar $\epsilon = \frac{1}{2}$ (decir) y ver si puedes encontrar un $\delta >0$ tal que cuando $-\delta < x < 0$ , entonces $\left|\frac{x}{x+1}\right| < \epsilon$ .

Consulte los comentarios a continuación para obtener más información sobre la pregunta metodológica sobre los procedimientos generales para resolver este tipo de problema.

Probablemente necesito explicar más. Ya que estoy aprendiendo esto, estoy luchando por encontrar un procedimiento general para resolver tales problemas, por lo que realmente me gustaría resolverlo usando la forma en que lo miré o descubrir que la forma en que intenté resolver fue incorrecta. . Las respuestas alternativas, que usan alguna propiedad única de esta fórmula, son geniales, pero lo agradecería si la respuesta se tratara de la forma específica de resolver el problema.
El punto es que el límite a medida que te acercas $0$ desde la derecha y el límite a medida que se acerca desde la izquierda deben coincidir. ¿Ves por qué? Entonces, en su intento, puede argumentar que $L$ debe ser $1$ porque debe coincidir con el límite por la derecha. Esto te llevará a la $\epsilon/\delta$ argumento de los "primeros principios" que buscas. (También ayudará si no omite la función de piso).
Solo necesito la forma muy superficial, algorítmica, si lo prefiere, de abordar la resolución de este tipo de problemas. No tengo ningún problema en ver por qué este límite no existe. Lo tracé y me aseguré de entender completamente cómo se comporta la función, etc. Mi problema es con la forma específica de resolver el problema, no con resolverlo en general (si solo quisiera resolverlo, simplemente lo escribiría en Máxima o Maple y sé feliz con el resultado).
Perdón por comentar extensamente, tal vez esto lo explique mejor. Compare estos: digamos, podría multiplicar matrices reconociendo que una de las matrices es diagonalizable y, por lo tanto, podría simplemente usar los valores propios para la multiplicación (que sería más rápido), o podría ignorar ese hecho y simplemente hacer el lento pero seguro multiplicación fila por columna. Estoy seguro de que hay una manera lenta pero segura de resolver cualquier problema de límites, y eso es lo que estoy tratando de encontrar. (Desafortunadamente, mi maestro y los libros de texto no valen nada).
No existe una forma lenta pero segura de resolver cualquier problema de límite. Esa no es solo una afirmación descarada: se puede demostrar que la teoría de primer orden de las funciones trigonométricas (por ejemplo), (o incluso la teoría del campo real junto con la función de piso, que es más relevante para su problema) es indecidible . Volviendo a tu pregunta, ¿has intentado hacer lo que sugerí en mi sugerencia, es decir, encontrar un $\delta > 0$ tal que cuando $-\delta < x < 0$ , $\left|\frac{x}{x+1}\right| < 1/2$ ?
Bueno, edite su pregunta para explicar lo que hizo y por qué no ayudó.
Para ser más concretos: aquí usa el "truco" que le permite evitar un cálculo lento pero seguro cuando sustituye el valor por $\lfloor sin x \rfloor$ porque sabes cómo se comporta la función en todo el rango $(-\sigma, \sigma)$ , pero una computadora no lo sabría y no se le permite asumir esto en función de los pocos valores que puede calcular, por lo que no sería un enfoque permisible lento pero seguro.
Como dije, el problema general no es decidible, es decir, el enfoque efectivamente computable lento pero seguro no existe . Su enfoque puede ser una heurística útil y lograría que funcione en este caso haciendo correctamente las simplificaciones algebraicas.
Sin discutir, pero ¿cómo resuelven los límites sistemas como Maple, Mathematica o Maxima? Estoy seguro de que también usan heurística. ¿Pero tal vez hay algunas restricciones para el problema que hacen que algún subconjunto sea decidible? Después de todo, hay muchas cosas cotidianas en las ciencias de la computación que son indecidibles y, sin embargo, se usan de manera regular en los sistemas de misión crítica.
Claro que hay muchas subclases decidibles de este tipo de problema y los sistemas de álgebra computacional tienen muchas heurísticas muy buenas para calcular límites. Los sistemas de álgebra computacional no producen $\epsilon/\delta$ Sin embargo, pruebas y eso es lo que has estado pidiendo. Creo que haría bien en hacer una pregunta general "suave" sobre la automatización $\epsilon/\delta$ pruebas si eso es lo que realmente le interesa, para evitar atascarse en los detalles de este ejemplo en particular.
Bueno, la tesis de la computación universal de Turing implica que si alguien tan matemáticamente desafiado como yo puede (y se espera que lo haga) aplicar un procedimiento para resolver este problema (¡se supone que debo aprender, es decir, desarrollar un patrón para tratar con problemas similares!), ¡entonces una computadora digital también debería hacerlo! :) De todos modos, ¡esto no fue dicho con toda seriedad! Valoro mucho el tiempo y el esfuerzo que dedicas a responder la suya, por lo tanto, aceptaré tu respuesta, aunque no me sienta satisfecho con ella. :)

contraejemplosmatematicas.net · Answer 2

¿Por qué no usa nuevamente sus secuencias para derivar una contradicción en $L$ ¿valor?

U otra idea, ¿sabes? $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$ ?

Apuesto a que lo haría si supiera cómo, pero gracias por intentarlo :)
Lo siento, acabo de darme cuenta de que cometí un error al escribir la fórmula inicial. Lo siento. Y, sí, conozco el límite del seno de x dividido por x, pero eso no ayuda mucho porque necesito una forma específica de demostrarlo, no cualquier forma, y tengo problemas con esa forma en particular.

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