Diferencia entre estas dos definiciones de límites

Creo que tienes un problema con el lenguaje matemático. En la segunda definición, "$f(x)$se define para todos$x\neq a$" no significa que$f(a)$no debe ser definido. Tienes que leer la oración en sentido amplio (como ocurre con muchas otras situaciones en matemáticas, como el uso de la palabra 'o' como conector lógico). Todo lo que decimos es que requerimos$f(x)$definirse en todos los puntos que no sean$a$. En$a$, no requerimos que la función esté definida.

Si$f$se define en$a$, entonces genial, bien por ti, (pero el valor de$f(a)$no tiene impacto en cuanto a la definición del límite).

Si$f$no está definido en$a$, entonces eso tampoco es problema.

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Dicho de otra manera, leí la oración

"$f(x)$se define para todos$x\neq a$"

como la implicación unilateral

"Si$x\neq a$entonces$f(x)$se define",

NO como el bicondicional

"$f(x)$se define si y solo si$x\neq a$"

El punto clave es que en la definición de límite no nos importa el punto límite, por lo tanto, la función puede definirse o no en ese punto, de hecho en la definición (por ejemplo, para límite finito):

$$\Big(\lim_{x\rightarrow a} f(x) = L \Big)\iff \Big(\forall \varepsilon >0\, \exists \delta > 0: \forall x\in D\quad 0<\vert x-a\vert <\delta \implies \vert f(x)-L\vert <\varepsilon \Big)$$

la condición$0<\vert x-a\vert <\delta$implica que estamos asumiendo$x\neq a$.

Consulte también lo relacionado:

• ¿Por qué se nos permite cancelar fracciones en límites?