¿Cuál es la definición correcta del límite de una función?

Entonces llegué a esta pregunta mientras intentaba responder una más simple: "¿La función raíz cuadrada es continua en 0 o solo correcto continuo?"
Si miras la página de wikipedia sobre ε - d definición del límite: enlace . Incluye el requisito de que el punto al que se aproxima la entrada sea el punto límite del dominio de la función.

Ahora, si vamos a la página de wikipedia sobre los límites de la función, obtenemos la siguiente definición: enlace . Allí, el dominio de la función en sí está restringido a ser un intervalo abierto o una línea real. Así que decidí tomar ejemplos de definiciones de libros de texto de análisis y cálculo. Entonces, en los "Principios del análisis matemático" de Rudin, tenemos la definición que se aplica a los espacios métricos, pero ciertamente se puede especificar a funciones de valor real de variable real, por lo que en realidad su definición es la misma que la definición en la primera página wiki que mencioné.
Si echamos un vistazo al "Cálculo" de Spivak, creo que su definición se puede resumir de la siguiente manera: ∀ ϵ > 0 ∃ d > 0 ∀ X , 0 < | X − a | < d → | F ( X ) − L | < ε y también añade un requisito para F definirse en algún vecindario abierto de a , excepto tal vez a sí mismo.
Y el problema con las diferentes definiciones es que no son equivalentes. La definición de Rudin y Spivak no son equivalentes porque, por ejemplo, según la definición de Rudin raíz cuadrada de X con dominio de reales no negativos es continua en 0 , pero por Spivak's, no lo es.
Si observa la definición de Rudin (o la página wiki que mencioné primero), permite límites de funciones con dominios que no son intervalos abiertos, pero la definición en la segunda página wiki solo permite límites de funciones con dominios que son intervalos abiertos.

Entonces, ¿qué definición es la correcta (en realidad, puede haber otras definiciones en otros libros de texto, por lo que puede darlas como respuesta a la pregunta)? ¿O soy demasiado pedante al respecto?

@mvw OK, lo siento, intentaré editarlo.
El primer enlace de wikipage que mencionó afirma que su definición está tomada de Spivak. ¿Puedes escribir la definición de Rudin?
@uniquesolution Sí, realmente dice que está tomado de Spivak, pero revisé Spivak y allí veo otra definición (una que he escrito en la publicación), pero si quieres, escribiré la definición de Rudin.
La definición que escribió en su publicación, que dice que es de Spivak, me parece idéntica a la definición vinculada a su primera página wiki, lo cual no es sorprendente, porque ambos son de Spivak. ¿Qué diferencia ves? Y sí, agregue la definición de Rudin, ya que es una parte esencial de su publicación.
@uniquesolution Lo siento, ahora me di cuenta de que el Cálculo de Spivak al que me refería era una edición anterior a la mencionada en la página wiki.
¿Entonces crees que Spivak cambió su definición de límite entre dos ediciones? Improbable.
@uniquesolution Entonces no sé cómo wikipedia puede referirse a Spivak. Tal vez alguien que tenga la cuarta edición pueda confirmar qué definición hay.
@uniquesolution La definición en el cuerpo de la pregunta no es la misma que la definición en el primer wiki vinculado. La definición en la primera página vinculada permite la función F ( X ) = X con dominio q tener límites en todas partes a diferencia de la definición dada en el OP según la cual no tiene límite en ninguna parte.
Los libros de cálculo/análisis difieren exactamente en cómo tratan esto. Algunos dirían que el límite existe. Algunos dirían que el límite no existe, pero de todos modos se considera continuo en 0 porque los puntos finales son un caso especial. Creo que algunos podrían decir/implicar que no es continuo en 0. Esencialmente, todos los libros de topología dirían que es continuo.

Respuestas (1)

No tengo ninguno de los libros frente a mí, pero también he tenido este problema durante mucho tiempo.

Permítanme reafirmar rápidamente las dos definiciones:

La parte principal del cuantificador es la misma, es decir:

∀ ϵ ∃ d ∀ X ( ( 0 < | X − C | < d ) ⟹ ( | F ( X ) − L | < ϵ ) )

La diferencia es que, en un caso, para que exista el límite, se requiere que haya algún vecindario perforado de C que está en el dominio de F y en el otro caso solo requieres eso C es un punto límite del dominio.

La segunda definición es una generalización de la primera, como puede verse fácilmente. Cuál es la correcta no es, en cierto sentido, una pregunta razonable. Son definiciones, ambas son autoconsistentes, por lo que ambas son "correctas" en lo que respecta a las definiciones. Más bien es una cuestión de convención cuál se usa en una determinada tradición/escuela, etc. Últimamente parece que he visto más de la versión más restrictiva (con barrios perforados) pero personalmente creo recordar que me enseñaron la más general.

EDITAR Reflexionando después de algunos comentarios perspicaces de @Hurkyl, debo admitir que la elección de la redacción de "una más general" no es realmente buena. Implica que la segunda versión es una generalización de la primera, lo que probablemente no sea correcto en el sentido de que si bien puedes decir que un "anillo es una generalización del campo", la distinción importante es que lo llamo anillo. No sigo llamando campo a algo sin inversas.

Lo que también quería agregar es que lo que llamaré la definición del segundo límite tiene algunas consecuencias extrañas si dejas que funcione en lugares como la definición/teorema sobre la continuidad. Específicamente con esa definición de límite obtienes que F ( X ) = X con dominio q es continua dondequiera que se defina. Sin embargo, esto no es algo en lo que la gente generalmente tiende a pensar como una función continua en los reales.

@Hurkyl hizo otro gran punto y es que realmente el problema es que tratamos las funciones parciales sin el respeto que merecen. Si se limita sólo a funciones que son totales en R todos los problemas desaparecen y las definiciones se vuelven equivalentes.

No es una generalización, es una diferencia. Por ejemplo, uno conduce a " X es continua en 0 "y el otro a" X no es continua en cero". Puedo ver que ambas opciones son la respuesta correcta para diferentes nociones de lo que uno quiere transmitir al decir que una función parcial es continua en un punto.
@hurkyl Creo que podríamos tener una noción diferente de generalización. Cualquier cosa que tenga un límite bajo la primera definición todavía tiene un límite bajo la segunda definición y los límites están de acuerdo. ¿Qué sería entonces para ti una generalización sino eso? El hecho de que no obtenga la misma noción de continuidad si se basa en las diferentes versiones de los límites parece incidental al uso de la definición de límite para definir la continuidad (lo cual, en mi opinión, es incorrecto). Hay una definición perfectamente buena de continuidad desde los primeros principios. .)
Veo esto como algo así como decidir establecer 0 / 0 = 1 . Claro, ahora puedes dividir más cosas, pero la forma antigua de dejarlo sin definir decía algo que en realidad queríamos decir y esta decisión cambia eso. Estoy diciendo que estas dos definiciones diferentes de límite dicen cosas ligeramente diferentes sobre la naturaleza de lo que significan los límites para funciones parcialmente definidas. ej., que " X no tiene limite en X = 0 " es una característica intencional de la definición.
@Hurkyl Veo lo que estás diciendo. Y vale la pena considerar el hecho de que la definición topológica de continuidad no funciona bien con la versión "más general" de límite. (La preimagen de abierto está abierto, obviamente, se rompe para las funciones definidas solo en q no importa lo agradables que sean.)
Si desea adaptar ese enfoque a los límites de funciones parciales, el dominio de su función parcial hereda la topología del subespacio, por lo que puede restringirse al dominio y aplicar las nociones habituales para funciones totales.
Este caso extremo en particular, por cierto, fue una de las principales chispas de mi molestia general sobre cómo se tratan las funciones parciales en las matemáticas introductorias; más precisamente, cómo generalmente no se tratan pero, sin embargo, se usan de manera generalizada.
@hurkyl hmm sí, lo entiendo. Pero ahora estoy realmente confundido sobre lo que realmente quiero. Restringir la topología al dominio parece demasiado extraño en algunos aspectos. De todos modos, intentaré agregar algo de esto a la respuesta en un momento. Es una aclaración interesante de algunas de las consecuencias de la segunda definición.
@Hurkyl ¿Por qué consideras X ser función parcial? ¿No podemos verlo como uno con el dominio de los reales no negativos en lugar de todos los reales?
@ЮрійЯрош si lo consideras así, las diferencias entre las definiciones desaparecen. Ambos lo tendrán continuo en 0.
@DRF No creo que exista algún barrio perforado de 0 en el conjunto de los reales no negativos.
@ЮрійЯрошm Cuando dices restringir el dominio, asumí que te refieres a restringir el espacio. El dominio restringido solo significa que es parcial (no de todos los reales). Si restringe el espacio, entonces [0,a) está abierto.
@DRF Tal vez lo entendí mal o no entendí bien la noción/definición de la función parcial, pero la cuestión de si la función es parcial se trata de si cada miembro del dominio está asignado a algún miembro del codominio, entonces, ¿por qué funcionaría la raíz cuadrada con el dominio de [ 0 , ∞ ) ser parcial?
Lo siento, pero creo que intercambiaste la segunda y la primera definición en tu parte "Editar" de la respuesta. Porque la primera definición que mencioné era una con punto límite, y la segunda con vecindad perforada.
¿Cuál es la definición correcta del límite de una función?
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