Epsilon-Delta prueba de un límite infinito

Question

Epsilon-Delta prueba de un límite infinito

limites
cálculo
Matemáticas
epsilon-delta

pedro allen

Mientras buscaba en algunos de mis libros más antiguos, encontré este ejercicio en particular:

Si $\displaystyle\lim_{x \to +\infty}{\frac{f(x+1)}{f(x)}=1,}$ Pruebalo $\displaystyle\lim_{x \to +\infty}{\frac{f(x+4)}{f(x)}=1.}$

Ahora, logré resolver este problema con un truco aplicando constantemente la sustitución $x\to x+1$ . Entonces obtenemos:

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty}{\frac{f(x+2)}{f(x+1)}=1,} \displaystyle\lim_{x \to +\infty}{\frac{f(x+3)}{f(x+2)}=1,}$ y $\displaystyle\lim_{x \to +\infty}{\frac{f(x+4)}{f(x+3)}=1.}$ Al final,

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty}{\frac{f(x+1)}{f(x)}\cdot\frac{f(x+2)}{f(x+1)}\cdot\frac{f(x+3)}{f(x+2)}\cdot\frac{f(x+4)}{f(x+3)}=\displaystyle\lim_{x \to +\infty}{\frac{f(x+4)}{f(x)}}}=1$ .

Pero estoy buscando algo más cercano a usar la definición de $\epsilon-\delta$ y me preguntaba si eso realmente era posible. Busqué pero no pude encontrar una solución. ¡Gracias!

Brian Tung

Una idea sería encontrar los diversos valores de

δ

$\delta$ para el primer límite, en

x, x + 1, x + 2, x + 3

$x, x+1, x+2, x+3$ , que producen una desviación de

1

$1$ de no más de

\sqrt[4]{1 + ε}

$\sqrt[4]{1+\varepsilon}$ , o algo así. Luego, cuando los multiplicas todos juntos, te quedas dentro

ε

$\varepsilon$ de

1

$1$ . Es posible que me haya equivocado en algunos de los ajustes, pero esa es una idea básica.

Brian Tung

Vaya, supongo que en lugar de

δ

$\delta$ , eso sería

N

$N$ (O como sea que quieras llamarlo). Pero la misma idea básica.

pedro allen

@BrianTung Uh, realmente no importa. De todos modos, las definiciones no dependen de la elección de la letra. Interesante idea, pero no estoy exactamente seguro de cómo hacer que funcione. Estoy demasiado cansado ahora para continuar por hoy.

pedro allen

@LorentzianMcDonalds, no estoy seguro de que el

ϵ - δ

$\epsilon-\delta$ se puede aplicar aquí porque la función es arbitraria.

Brian Tung

@LorentzianMcDonalds: Soy consciente de que la letra no importa de ninguna manera precisa, pero

δ

$\delta$ generalmente se usa para denotar la mitad del ancho del intervalo alrededor

x

$x$ , mientras

N

$N$ (o algo similar) se utiliza para denotar un valor de

x

$x$ más allá del cual

f (x)

$f(x)$ siempre está dentro

ε

$\varepsilon$ de

1

$1$ (en este caso). En otras palabras, estas son convenciones que facilitan la lectura de matemáticas, de la misma manera que solemos usar

n

$n$ para referirse a un número entero,

x

$x$ a un valor real,

z

$z$ a un valor complejo, y así sucesivamente.

Brian Tung

@PeterAllen: Es arbitrario, pero sabemos que siempre podemos entrar en lo que sea.

ε

$\varepsilon$ queremos de

1

$1$ con

\frac{f (x + 1)}{f (x)}

$\frac{f(x+1)}{f(x)}$ , por lo que deberíamos poder apilar cuatro de ellos para obtener el límite correspondiente para

\frac{f (x + 4)}{f (x)}

$\frac{f(x+4)}{f(x)}$ .

Respuestas (3)

Epsilon-Delta prueba de un límite infinito

Una idea sería encontrar los diversos valores de $\delta$ para el primer límite, en $x, x+1, x+2, x+3$ , que producen una desviación de $1$ de no más de $\sqrt[4]{1+\varepsilon}$ , o algo así. Luego, cuando los multiplicas todos juntos, te quedas dentro $\varepsilon$ de $1$ . Es posible que me haya equivocado en algunos de los ajustes, pero esa es una idea básica.
Vaya, supongo que en lugar de $\delta$ , eso sería $N$ (O como sea que quieras llamarlo). Pero la misma idea básica.
@BrianTung Uh, realmente no importa. De todos modos, las definiciones no dependen de la elección de la letra. Interesante idea, pero no estoy exactamente seguro de cómo hacer que funcione. Estoy demasiado cansado ahora para continuar por hoy.
@LorentzianMcDonalds, no estoy seguro de que el $\epsilon-\delta$ se puede aplicar aquí porque la función es arbitraria.
@LorentzianMcDonalds: Soy consciente de que la letra no importa de ninguna manera precisa, pero $\delta$ generalmente se usa para denotar la mitad del ancho del intervalo alrededor $x$ , mientras $N$ (o algo similar) se utiliza para denotar un valor de $x$ más allá del cual $f(x)$ siempre está dentro $\varepsilon$ de $1$ (en este caso). En otras palabras, estas son convenciones que facilitan la lectura de matemáticas, de la misma manera que solemos usar $n$ para referirse a un número entero, $x$ a un valor real, $z$ a un valor complejo, y así sucesivamente.
@PeterAllen: Es arbitrario, pero sabemos que siempre podemos entrar en lo que sea. $\varepsilon$ queremos de $1$ con $\frac{f(x+1)}{f(x)}$ , por lo que deberíamos poder apilar cuatro de ellos para obtener el límite correspondiente para $\frac{f(x+4)}{f(x)}$ .

Una tierra · Answer 1

Esto es como completar el pensamiento de @Brian Tung:

De hecho, la forma más natural de ver el límite es la forma en que lo hiciste:

\underset{X \to + \infty}{límite} \frac{F (X + 1)}{F (X)} \cdot \frac{F (X + 2)}{F (X + 1)} \cdot \frac{F (X + 3)}{F (X + 2)} \cdot \frac{F (X + 4)}{F (X + 3)} = 1

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty}{\frac{f(x+1)}{f(x)}\cdot\frac{f(x+2)}{f(x+1)}\cdot\frac{f(x+3)}{f(x+2)}\cdot\frac{f(x+4)}{f(x+3)}}=1$ Dejar

ϵ > 0

$\epsilon>0$ . Por hipótesis, existe

M > 0

$M>0$ grande tal que

(1 - ϵ)^{\frac{1}{4}} < \frac{f (x + 1)}{f (x)} < (1 + ϵ)^{\frac{1}{4}}

$(1-\epsilon)^\frac14<\frac{f(x+1)}{f(x)}<(1+\epsilon)^\frac14$ cuando

x > M

$x>M$ . reemplazando

x

$x$ con

x + k

$x+k$ para

k = 1, 2, 3

$k=1,2,3$ , tenemos

(1 - ϵ)^{\frac{1}{4}} < \frac{F (X + k + 1)}{F (X + k)} < (1 + ϵ)^{\frac{1}{4}}

$(1-\epsilon)^\frac14<\frac{f(x+k+1)}{f(x+k)}<(1+\epsilon)^\frac14$ cuando

x + k > x > M

$x+k>x>M$ . Por lo tanto, cuando

x > M

$x>M$ , tenemos

1 - ϵ < \frac{F (X + 1)}{F (X)} \cdot \frac{F (X + 2)}{F (X + 1)} \cdot \frac{F (X + 3)}{F (X + 2)} \cdot \frac{F (X + 4)}{F (X + 3)} < 1 + ϵ .

$1-\epsilon<{\frac{f(x+1)}{f(x)}\cdot\frac{f(x+2)}{f(x+1)}\cdot\frac{f(x+3)}{f(x+2)}\cdot\frac{f(x+4)}{f(x+3)}}<1+\epsilon.$

Tengo una pregunta. como te manejas $(1-\epsilon)^{1/4}$ para $\epsilon > 1$ ?
^ Esto es solo contabilidad. Reescriba la demostración con $\epsilon' = \min(1,\epsilon),$ entonces si encuentras un $M$ tal que después de ella la función está acotada dentro $1 \pm \epsilon',$ entonces está a fortiori delimitado dentro $1 \pm \epsilon$ .

Hermis14 · Answer 2

Dejar $g(x) := f(x+1)/f(x)$ . Entonces, $g(x+1)g(x) = f(x+2)/f(x)$ .

Solo consideramos el caso $f(x+2)/f(x)$ , porque tu caso se puede mostrar fácilmente repitiendo un proceso similar.

Desde $\lim_{x\to\infty}g(x) = 1$ ,

\forall ϵ > 0 : \exists d > 0 : \forall X > d : | gramo (X) - 1 | < ϵ

$\forall \epsilon > 0: \exists \delta > 0: \forall x > \delta:|g(x)-1| < \epsilon$ Dejar

ϵ_{1} > 0

$\epsilon_1 > 0$ y

a > 0

$a > 0$ . Entonces hay

δ_{1} > 0

$\delta_1 > 0$ tal que

\forall x > δ_{1} : | g (x) - 1 | < a ϵ_{1}

$\forall x > \delta_1:|g(x)-1| < a\epsilon_1$ .

Desde $x+1 > x > \delta_1$ , $|g(x+1) -1| < a\epsilon_1$ .

Por otro lado,

(gramo (X + 1) - 1) (gramo (X) - 1) = gramo (X + 1) gramo (X) - gramo (X + 1) - gramo (X) + 1

$(g(x+1) -1)(g(x) - 1) = g(x+1)g(x)-g(x+1)-g(x) + 1$ o equivalente,

gramo (X + 1) gramo (X) - 1 = (gramo (X + 1) - 1) (gramo (X) - 1) + gramo (X + 1) + gramo (X) - 2

$g(x+1)g(x) -1 = (g(x+1)-1)(g(x)-1) +g(x+1) + g(x) - 2$ Por lo tanto, para todos

x > δ_{1}

$x > \delta_1$ ,

\begin{aligned} | gramo (X + 1) gramo (X) - 1 | & \leq | gramo (X + 1) - 1 | | gramo (X) - 1 | + | gramo (X + 1) - 1 | + | gramo (X) - 1 | \\ < a^{2} ϵ_{1}^{2} + 2 a ϵ_{1} \end{aligned}

$\begin{aligned} |g(x+1)g(x) -1| &\le |g(x+1)-1||g(x)-1| + |g(x+1) - 1| + |g(x) - 1|\\ &< a^2\epsilon_1^2 + 2a\epsilon_1 \end{aligned}$ Podemos elegir

a > 0

$a > 0$ tal que

a^{2} ϵ_{1}^{2} + 2 a ϵ_{1} \leq ϵ_{1}

$a^2\epsilon_1^2 + 2a\epsilon_1 \le \epsilon_1$ porque el lado izquierdo es una función continua creciente de

a

$a$ , que es cero en

a = 0

$a = 0$ , y va infinito como

a \to \infty

$a \to \infty$ . Por lo tanto, concluimos que siempre que

x > δ_{1}

$x > \delta_1$ ,

| g (x + 1) g (x) - 1 | < ϵ_{1}

$|g(x+1)g(x)-1| < \epsilon_1$ . Esta espectáculos

lim_{x \to \infty} g (x + 1) g (x) = 1

$\lim_{x \to \infty} g(x+1)g(x) = 1$ .

Dejar $h(x) = g(x+1)g(x)$ y haz lo mismo para $h$ .

usuario21820 · Answer 3

Solo quiero decir que si tiene una prueba de que el límite de un producto es el producto de los límites (cuando ambos existen), entonces esa prueba se puede copiar y pegar 3 veces, cada copia ajustada adecuadamente, de modo que obtenga una prueba de su ejercicio. Esto se debe a que su solución simplemente usa ese lema del producto 3 veces. Por lo tanto, cualquier prueba ε-δ de ese lema produce una prueba ε-δ de su ejercicio. Esto también se conoce como desarrollo de prueba . Por supuesto, si desea algo más limpio que solo pruebas desplegadas, el enfoque de zugzug funciona.

Por otro lado, no debería estar demasiado interesado en apegarse a las definiciones sencillas y tratar de evitar el uso de lemas, porque esta es una receta para pruebas largas y feas. Por ejemplo, suponga que se le pide que pruebe lo siguiente: $\def\lfrac#1#2{{\large\frac{#1}{#2}}}$

Si $\lim_{x→∞} \lfrac{f(x+8)}{f(x)} = 1$ y $\lim_{x→∞} \lfrac{f(x+5)}{f(x)} = 1$ , entonces $\lim_{x→∞} \lfrac{f(x+1)}{f(x)} = 1$ .

Sería mucho más difícil encontrar una prueba limpia que evite cualquier cosa que se parezca al lema del producto, y realmente no aprendería mucho al evitar el lema.

Epsilon-Delta prueba de un límite infinito

pedro allen

Brian Tung

Brian Tung

pedro allen

pedro allen

Brian Tung

Brian Tung

Respuestas (3)

Una tierra

Hermis14

estocásticoboy321

Hermis14

usuario21820

¿Qué sucede si ϵϵ\epsilon es infinito en la definición de límites de ϵϵ\epsilon-δδ\delta?

Demuestra que limx→∞xsin2xlimx→∞xsin2⁡x\lim\limits_{x \to \infty} x \sin^2 x no existe.

Encontrar el límite a partir del ejemplo de su definición épsilon-delta

Demostrar que el límite no existe usando la definición epsilon-delta

¿Es posible que xxx aparezca en la definición de δδ\delta en una prueba de límite ϵ−δϵ−δ\epsilon-\delta?

ϵϵ\epsilon - δδ\delta definición de un límite - menor ϵϵ\epsilon implica menor δδ\delta?

Epsilon Delta definición de un derivado

Preguntas sobre la definición épsilon-delta de un límite

Demostrar usando la definición epsilon

ϵ−δϵ−δ\epsilon-\delta definición para límites que involucran ∞∞\infty