¿Qué sucede si ϵϵ\epsilon es infinito en la definición de límites de ϵϵ\epsilon-δδ\delta?

La definición epsilon delta de límites dice que si el límite como X → a de F ( X ) es L, entonces para cualquier d > 0 , hay un ϵ > 0 tal que si 0 < | X − a | < d , entonces | F ( X ) − L | < ϵ .

Pero el problema es que esta definición dice muy generalmente que para CUALQUIER d , hay ALGO ϵ . ¿Y qué si siempre elijo ϵ = ∞ ? Entonces se garantiza que la distancia entre F ( X ) y L es menos que ϵ , y, como bono, L puede ser literalmente cualquier cosa, lo que significa que el límite puede ser cualquier valor que desee. Lo cual es obviamente absurdo. ¿Que me estoy perdiendo aqui?

Además, la mayoría de la gente dice que esta definición nos dice intuitivamente que F ( X ) puede estar tan cerca de L como quieras, porque si d se hace cada vez más pequeño y se acerca a cero, luego épsilon se vuelve cada vez más pequeño y se acerca a cero también. Pero esto no puede ser correcto, como ϵ no es una función de d o algo así, por lo que no puedes decir que si uno se acerca a 0, entonces el otro también lo hará.

Editar: Siento que el problema tiene que ver con el hecho de que, por lo general, cuando las personas usan esta definición para resolver problemas de límites, obtienen alguna expresión para épsilon como una función de delta (como escribo arriba), y usando esta expresión, por lo general, encuentra que cuando delta tiende a cero, épsilon también tiende a cero. Si se supusiera en la definición misma que SIEMPRE debería ser así, entonces la definición tendría mucho sentido para mí, pero no me parece que lo tenga. Si alguien pudiera compartir algunos pensamientos sobre esto, entonces sería muy feliz.

¿Por qué no? No hay nada en la definición que lo diga.
Porque ∞ no es un número real. Trabajando con límites, a menudo verás ∞ en el mismo contexto que un número, pero estos casos tienen sus propias definiciones separadas.
Además, tu definición es simplemente incorrecta. Es "para todo épsilon, existe delta, tal que..." y no "para todo delta, existe épsilon, tal que...".
Bien, pero mi lógica funciona incluso si épsilon es muy, muy grande
Tienes mal la definición. límite X → a F ( X ) = L significa que para cualquier ϵ > 0 , existe un d > 0 tal que si 0 < | X − a | < d , entonces | F ( X ) − L | < ϵ . no puedes elegir ϵ , tienes que encontrar un d que funciona para un determinado ϵ , y tienes que hacer esto para cada ϵ > 0 , no importa que tan pequeño.
Leandro, ¿cuál es la diferencia? ¿No dice básicamente lo mismo?
Bungo, luego elija delta es infinito (ør un número muy, muy grande), y todavía hay un problema
o*, no ør....
En general, elegir d = ∞ no funcionaría. Considere un ejemplo simple, digamos F ( X ) = X 2 , donde queremos mostrar que límite X → 0 X 2 = 0 . Supongamos que te doy ϵ = 1 . Ciertamente no es cierto que cada X satisface | X 2 − 0 | < 1 , ¿bien? De hecho, debemos tener | X | < 1 para que se satisfaga la desigualdad anterior, por lo tanto d debe ser ≤ 1 .
No, pero si delta es muy grande, entonces casi se garantiza que abs(x-0)<delta para cualquier x (y de hecho es cierto si delta es infinito).
Sí, pero tu objetivo no es lograr 0 < | X − 0 | < d , es encontrar un d tal que si 0 < | X − 0 | < d , entonces | X 2 − 0 | < ϵ . En general, cuanto más pequeño haga ϵ , El pequeño d tiene que ser para que la implicación se mantenga.
Así que no importa cuál sea la x correspondiente para alguna f(x), está garantizado que abs(xa)<delta=infinity, y por lo tanto parece que la definición siempre funciona.
Pruebe su pensamiento en un ejemplo concreto simple, digamos F ( X ) = 2 X , y ver cómo se desarrolla.
Robert, sí, entiendo cómo se hace eso, pero siempre que se usa en la práctica, la gente hace una expresión para épsilon con respecto a delta (entonces épsilon es una función de delta), pero me parece que no puedes asumir que siempre puedes hacer eso, ya que no hay nada en la definición que diga que son funciones entre sí.
@FelisSuper, no estás eligiendo d para hacer | X − a | < d verdadero. Quieres | X − a | < d ser falso tan a menudo como sea posible, porque entonces la implicación | X − a | < d → | F ( X ) − L | < ϵ es cierto con la mayor frecuencia posible. Si estás tratando de demostrar que F es continua, querrás elegir una muy pequeña d -- nunca ∞ .
Tienes razón en que no hay nada en la definición que haga ϵ una función de d o viceversa. Pero para una prueba necesitas mostrar que no importa qué ϵ Te tiro, siempre hay un d con la propiedad deseada. Por lo general, esto se hace presentando un procedimiento confiable que siempre producirá un resultado adecuado. d . La técnica que a menudo ves donde la gente escribe una expresión que es una función de d es simplemente un paso en la derivación y prueba de tal procedimiento. No es parte del procedimiento en sí.

Respuestas (2)

Parece que tienes la definición al revés en tu primera oración.

∀ ϵ > 0 ∃ d > 0 . . .

En inglés: para todos ϵ > 0 existe d > 0 ...

Una forma intuitiva de pensar en ello es un juego. Si estoy reclamando el límite, entonces puedes desafiarme con la precisión que quieras, un positivo ϵ , y necesito ser capaz de responder con un positivo d que lo logra. ϵ y d tienen que ser números entonces ∞ está implícitamente excluido. De todos modos, incluso nosotros permitimos ∞ con obvias reglas ingenuas y me retaste a entrar ϵ = ∞ de mi límite reclamado, entonces sería fácil para mí lograrlo. No cambiaría las cosas.

Los límites son un área donde se ve el símbolo ∞ con frecuencia y es fácil tener la impresión de que se trata como un número. No lo es, es solo una notación sugerente para una definición separada. Las definiciones de límites cuando X → ∞ es diferente de X → a .

Algunos extra basados ​​en comentarios, tenga en cuenta que aunque debo poder proporcionar un adecuado d para cualquier ϵ que me das, no tiene por qué ser en ningún sentido el mejor ni el óptimo. Supongamos que estoy afirmando que X 2 → 0 como X → 0 . En cierto sentido, lo mejor d es ϵ que solo hace el trabajo, pero podría responder 1 si tu ϵ es > 1 y darte el tuyo d volver si es < 1 . Esto sería más que suficiente, pero está bien.

Algunos más basados ​​​​en la pregunta editada. De nuevo, es al revés: d es una función de ϵ no al revés. ϵ es la precisión deseada y d qué tan cerca te tienes que llegar para lograr eso.

Sí, en general, como ϵ hacerse más pequeño, también lo hará d . Esto me parece bastante intuitivo: en mi juego, a medida que desafías a acercarte a mi límite reclamado, necesito acercarme al punto límite.

No siempre es cierto pero las excepciones no son interesantes. Considere la función F ( X ) = 1 , una función constante. afirmo que F ( X ) → 1 como X → 0 . Ahora para lo que sea ϵ me das, solo puedo responder 1 o googleplex si eso me divirtió.

Muy bien, pero digamos que fui astuto e hice una función en la que sucede que la definición funciona si delta=1/epsilon. Luego, si delta se vuelve más pequeño, epsilon se vuelve MÁS GRANDE, no más pequeño, como supone la mayoría de la gente (lea mi último párrafo).
@FelisSuper Dé un ejemplo concreto de tal función, no especule.
Muéstranos esa función y la consideraremos. Considere mi juego sugerido. Si en tu segundo desafío para mí, me das una mayor ϵ entonces puedo simplemente repetir mi respuesta. No necesito dar la respuesta óptima (en ningún sentido), solo cualquier d eso hace el trabajo Puede ser más mejor de lo necesario.
Agregué un párrafo adicional en mi pregunta original, por lo que tal vez alguien pueda compartir algunos pensamientos al respecto.
badjohn, sí, para la mayoría de las funciones que puedo imaginar, tiene sentido para mí que mientras epsilon va a 0, entonces delta va a 0 también. Es solo que hay tantas funciones locas por ahí, y no me sorprendería si hubiera una en la que esto no fuera cierto. Entonces mi pregunta es básicamente, ¿existe tal función?
Si quieres que exista el límite pero d no necesita ir a 0 como ϵ entonces la función deberá ser constante para una región alrededor del punto límite.
@FelisSuper: Creo que no entiendes el problema de los grandes d . tener un gran d esencialmente aumenta el rango de valores X en | X − a | < d y por lo tanto necesitamos asegurar la desigualdad objetivo | F ( X ) − L | < ϵ para un rango más amplio de valores de X . Por lo tanto, si realmente quiere ganar el juego de límite, deberá elegir pequeños d . Por otro lado si ϵ se da para ser un número grande, entonces hace su trabajo de elegir d más fácil.

¿Y qué si siempre elijo ϵ = ∞ ? Entonces se garantiza que la distancia entre  F ( X )  y  L  es menos que  ϵ , y, como bono,  L  puede ser literalmente cualquier cosa, lo que significa que el límite puede ser cualquier valor que desee. Lo cual es obviamente absurdo. ¿Que me estoy perdiendo aqui?

La primera parte de su afirmación es correcta. El problema está en cursiva. Si su tolerancia es infinitamente grande, entonces podemos que cualquier número que elijamos se aproxime al límite fijo L con suficiente precisión. Aquí no hay nada que diga L puede ser cualquier cosa, en el sentido que hemos dicho que F tiene un limite. El símbolo L es solo arbitrario en el sentido de que estamos hablando en general, para cualquier L . Sin embargo, este es el caso también cuando ϵ ≠ ∞ .

Espero que esto ayude.

¿Qué sucede si ϵϵ\epsilon es infinito en la definición de límites de ϵϵ\epsilon-δδ\delta?
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