Encontrar el límite a partir del ejemplo de su definición épsilon-delta

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Encontrar el límite a partir del ejemplo de su definición épsilon-delta

limites
cálculo
Matemáticas
epsilon-delta

Ziyad Edher

Digamos que tenemos una función $f$ definido en un intervalo centrado $a \in \mathbb{R}$ , y $x \in \mathbb{R}$ .

si sabemos que

| X - a | < d ⟹ | F (X) - L^{'} | < ε

$|x - a| < \delta \implies |f(x) - L'| < \varepsilon$ dónde

L^{'} \in R

$L' \in \mathbb{R}$ y

δ, ε > 0

$\delta, \varepsilon > 0$ son solo dos números aleatorios (no una definición completa).

Creo que no podemos deducir razonablemente que

\underset{X \to a}{límite} F (X) = L^{'}

$\lim_{x \to a} f(x) = L'$ porque la definición de límite dice que para cada épsilon existe un delta, donde aquí solo estamos tomando el caso de épsilon mayor o igual que el valor de épsilon que elegimos.

Pero, ¿qué podemos decir acerca de $L'$ con respecto al real $\lim_{x \to a} f(x)$ ?

EDITAR : Olvidé agregar que sabemos que $\lim_{x \to a} f(x)$ existe

A primera vista, parece que el límite real podría ser cualquier cosa dentro del rango $[L' - \varepsilon, L' + \varepsilon]$ , pero matemáticamente no puedo concluir eso.

Respuestas (2)

Encontrar el límite a partir del ejemplo de su definición épsilon-delta

Estampida humana · Answer 1

El límite no tiene por qué existir en absoluto. Por ejemplo

F (X) = {\begin{array}{cc} pecado \frac{1}{X}, & X \neq 0 \\ 0, & X = 0 \end{array}

$f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\sin\frac{1}{x},& x\neq 0\\ 0,& x=0\end{array}\right.$ Entonces escoge

L^{'} = 0

$L'=0$ ,

a = 0

$a=0$ ,

ε = 1.1

$\varepsilon=1.1$ y

δ = 1

$\delta=1$ .

Editar : si existe el límite, tenemos $|\lim_{x\rightarrow a}f(x)-L'|\leq \varepsilon$ . Déjame enseñarte como. Elige una secuencia $x_n$ tal que $x_n\rightarrow a$ . Entonces encontramos un $N_0$ tal que para todos $n\geq N_0$ tenemos $|x_n-a|<\delta$ . Por lo tanto estos $x_n$ satisfacer $|f(x_n)-L'|<\varepsilon$ . Desde $|\cdot|$ es continua el resultado sigue.

Oh lo siento. Olvidé agregar que sabemos que el límite realmente existe. No estoy seguro de cómo pude olvidar mencionar un detalle tan importante.

Paramanand Singh · Answer 2

Esta es una simple consecuencia de las leyes límite con respecto a las desigualdades. Su condición dada implica que

L^{'} - ϵ < F (X) < L^{'} + ϵ

$L'-\epsilon <f(x) <L'+\epsilon$ en un barrio de

a

$a$ . Tomar el límite simplemente debilita las desigualdades (debe construir un ejemplo que muestre que la desigualdad estricta no se puede garantizar después de tomar el límite) y obtiene

L^{'} - ϵ \leq \underset{X \to a}{límite} F (X) \leq L^{'} + ϵ

$L'-\epsilon \leq \lim_{x\to a} f(x) \leq L'+\epsilon$ de modo que

| \underset{X \to a}{límite} F (X) - L^{'} | \leq ϵ

$|\lim_{x\to a} f(x) - L'|\leq \epsilon$

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Ziyad Edher

Respuestas (2)

Estampida humana

Ziyad Edher

Estampida humana

Paramanand Singh

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