Epsilon Delta definición de un derivado

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Epsilon Delta definición de un derivado

limites
cálculo
derivados
Matemáticas
epsilon-delta
análisis real

ben g

La derivada en un punto específico $c$ se representa como un límite por:

F^{'} (C) = \underset{X \to C}{límite} \frac{F (X) - F (C)}{X - C}

$f'(c) = \lim_{x\to c} \frac{f(x) - f(c)}{x - c}$

Para mí está claro que la definición épsilon delta de una derivada en un punto $c$ sería:

\forall ϵ > 0 \exists d > 0 \forall X : 0 < | X - C | < d \to | \frac{F (X) - F (C)}{X - C} - L | < ϵ

$\forall \epsilon > 0 ~\exists \delta > 0 \forall x: \\ 0 < |x-c| < \delta \rightarrow |\frac{f(x)-f(c)}{x-c} - L| < \epsilon$

Lo que no me queda claro es cómo representar formalmente la derivada como una función de $x$ , en lugar de sólo en el punto $c$ . Básicamente, ¿cómo representaríamos formalmente este límite (el $\Delta x$ es la parte que me hace tropezar):

F^{'} (X) = \underset{Δ X \to 0}{límite} \frac{F (X + Δ X) - F (X)}{Δ X}

$f'(x) = \lim_{\Delta x\to0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$

Respuestas (2)

Epsilon Delta definición de un derivado

Sayan Dutta · Answer 1

Conoces la definición de límite, ¿verdad? Entonces, solo aplícalo. Podemos argumentar que si la derivada en $x$ es $L$ , entonces

\forall ϵ > 0 \exists d > 0 \forall Δ X : 0 < | Δ X | < d ⟹ | \frac{F (X + Δ X) - F (X)}{Δ X} - L | < ϵ

$\forall \epsilon > 0 ~\exists \delta > 0 \;\forall \Delta x: \\ 0<|\Delta x| < \delta \implies \left|\frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}-L\right| < \epsilon$ Además, la derivada como función,

f^{'} (x)

$f^\prime (x)$ es simplemente una función que toma un punto y escupe la derivada de

f

$f$ en ese punto. Entonces, también puede definir la definición de un derivado en un punto

c

$c$ y recoger todas esas derivadas bajo una función.

Ok, gracias ... y delta x solo representa una distancia desde cualquier punto que estemos considerando
@bgcode sí, puedes decir eso. O también puedes decir que $\Delta x$ es solo un (pequeño) número real- en el contexto de $\mathbb R$ , ambos son iguales, ¡realmente no importa!
Esto me parece doblemente defectuoso: (a) El $\forall x$ está mal, debería estarlo $\forall\Delta x$ ; (b) La condición produce que $f'(x)=0$ , Necesitas escribir un correcto $\epsilon$ - $\delta$ definición de la frase " $f$ es diferenciable en $x$ con derivada $L$ "
@ancientmathematician lo corrigió. Gracias por mencionarlo. Debo haber estado soñando despierto cuando escribí eso :|
Sayan: es posible que desee agregar $\forall \Delta x$ ¿entonces?
Debería ser L(x), ¿no? De lo contrario, está comparando una variable con una función.

nicomezi · Answer 2

Puede escribir la última fórmula como:

F^{'} (C) = \underset{Δ X \to 0}{límite} \frac{F (C + Δ X) - F (C)}{C + Δ X - C}

$f'(c) = \lim_{\Delta x\to0} \frac{f(c + \Delta x) - f(c)}{c+\Delta x-c}$

La última fórmula parece más intuitiva cuando se observa $f'$ como una función y no en $f'(x)$ , que es el valor de la derivada en $x$ . De hecho, el límite de la variable no depende del punto (es decir, tenemos $\Delta x \to 0$ y no $x \to c$ ).

Formalmente, si tuvieras que escribir un $\varepsilon-\delta$ prueba de una fórmula para un derivado, por ejemplo si $f(x)=x^n$ , entonces $f'(x)=nx^{n-1}$ , tienes que demostrarlo de forma independiente para cualquier $x$ . Por lo tanto, puede comenzar su prueba con "let $x \in \mathbb{R}$ , entonces ...". Pero una vez que se ha probado esta fórmula, puede calcular fácilmente la derivada de cualquier polinomio.

Nota

No estoy seguro de haber detectado bien su malentendido, así que di una respuesta bastante general. Espero que ayude de todos modos.

Gracias, supongo que mi malentendido fue sobre $\Delta x$ y pensando que podría cambiar cuando usamos epsilon-delta. dándoles votos a los dos

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