ϵϵ\epsilon - δδ\delta definición de un límite - menor ϵϵ\epsilon implica menor δδ\delta?

En primer lugar, si es más grande$\delta >0$se encuentra, siempre se puede encontrar uno pequeño (por ejemplo,$\delta_\epsilon = \min\{\delta, \epsilon\}$) para acompañar$\epsilon$, de modo que coincida con su intuición de que cuanto más pequeño sea el$\epsilon$, cuanto menor sea$\delta$.

Por otro lado, en realidad hay buenas funciones que no requieren un menor$\delta$: por ejemplo, si$f$es una función constante, cualquier$\delta >0$sería suficiente sin importar cuán pequeño$\epsilon$es.

En primer lugar, existen funciones que cada$\delta$es suficiente para ellos. Por ejemplo función constante

Por otro lado existen funciones que nos obligan a seleccionar tan pequeñas$\delta$como sea posible. Por ejemplo, tomemos una función estrictamente creciente$f(x)=x+1$.

La mayor$\delta$podemos tomar es tal que$f$intersecta las esquinas del rectángulo creado por cuatro líneas:$x=L\pm\varepsilon$y$y=c\pm\delta$. Así que si$\varepsilon$se encoge,$\delta$tiene que hacerse más pequeño también.

Ahora, toma una función que no sea monótona, por ejemplo$g(x)=2x^2+1$.

que pequeño hace$\delta$¿tiene que ser? Situación similar a la anterior, pero ahora$\delta$está delimitado por las esquinas superiores.

Déjame señalarte que una función como$x \in (0,+\infty) \mapsto x \sin (1/x)$se desvanece infinitamente muchas veces en cualquier vecindad de cero; es imposible hacerlo monótono restringiendo su dominio. A pesar de esto,

El hecho de que como$\epsilon$disminuye también lo hace$\delta$generalmente se sigue del comportamiento de la función. Tenga en cuenta que para casi todas las funciones interesantes$\delta$tendrá que disminuir como$\epsilon$disminuye La única excepción son las funciones constantes localmente.

Siempre que la función no sea localmente constante en$a$(y tiene un limite$L$allí) entonces por cada$\chi>0$hay algo$x$y$\psi>0$tal que$0<|a-x|<\chi$y$|f(x)-L|>\psi$(de lo contrario$\forall x\forall \psi>0$tienes$0<|a-x|<\chi\implies |f(x)-f(a)|<\psi$entonces$f$es constante en$(a-\chi,a+\chi)\setminus\{a\}$). Pero eso significa que si eliges$0<\epsilon<\psi$entonces$0<\delta<\chi$.

Solo para aclarar tu comentario sobre$x^2$no puedes tener tu$\delta$"aterrizar" alrededor$-2$desde$\delta$limita la distancia de$x=2$. Si su delta es lo suficientemente grande como para llegar hasta$x=-2$($\delta\geq 4$) entonces a menos que usted$\epsilon>4$el punto$x=0$(que estará dentro$\delta$de$x=2$) estará demasiado lejos del límite$L=4$.

Hablando topológicamente, dice que para cualquier vecindad$V(L)$de$L$existe una vecindad$W(c)$de$c$tal que$f(W(c) \setminus \{c\}) \subseteq V(L)$. Desde esta perspectiva topológica, la respuesta a:

No veo cómo elegir uno más y más pequeño.$\varepsilon$implica una cada vez más pequeña$\delta$.

No debería, de lo contrario tenemos problemas para definir (por ejemplo) límites cuando$x \rightarrow +\infty$dónde$W(+\infty)$es algo como$(\delta , +\infty)$

La intuición de un límite es que cuanto más cerca$x$llega a$c$, cuanto más cerca$f(x)$llega a$L$. La situación no es simétrica, siempre es posible encontrar$x$cerca de$c$, pero tal vez no tan fácil de encontrar$f(x)$cerca de$L$.

Si solo dijeras, "déjame elegir$\delta$y mira que pequeño$\epsilon$puede ser", no podrías concluir nada porque no tendrías criterio para decir eso$\epsilon$es lo suficientemente pequeño .

Así que trabajas al revés, diciendo "Puedo hacer$\epsilon$tan pequeño como quiero, y todavía puedo encontrar un$\delta$eso cabe".

El comportamiento exacto de la función en el$(\delta,\epsilon)$el vecindario es irrelevante, puede ser tan irregular/caótico/discontinuo como desee, siempre que permanezca delimitado. No se requiere monotonicidad.

"Con la definición tal como está, no veo cómo elegir un ϵ cada vez más pequeño implica un δ cada vez más pequeño".

No necesariamente así. No tiene que ser monótono.

Delta-épsilon simplemente dice: existe un paso en la aplicación continua de la función que conduce a un resultado más cercano al límite, la distancia es menor que cualquier número determinado ϵ. No importa cuán pequeño sea este número.

El objetivo del límite de una función es describir el comportamiento (el valor) de una función$f$cuando nos acercamos $c$(pero no igual a$c$)

$\varepsilon$-$\delta$definicion de limite es definir la idea de acercamiento en sentido riguroso.

¿ Cuál es el significado de acercarse ?

Si alguien te da un valor suficientemente pequeño$\varepsilon > 0$y requiere la distancia entre$L$y$f(x)$,$x$es el punto al que te acercas $L$, está a una distancia de$\varepsilon$. (Esto da$|f(x) - L| < \varepsilon$)

Siempre puedes encontrar otro lo suficientemente pequeño.$\delta > 0$tal que si te acercas $c$dentro de una distancia de$\delta$, se cumple el requisito anterior. (Esto da$0 < |x-c| < \delta$)