¿Es posible que xxx aparezca en la definición de δδ\delta en una prueba de límite ϵ−δϵ−δ\epsilon-\delta?

Question

¿Es posible que xxx aparezca en la definición de δδ\delta en una prueba de límite ϵ−δϵ−δ\epsilon-\delta?

limites
cálculo
Matemáticas
epsilon-delta

alejandro cambra

La lógica me dice que no lo es (sería circular, ya que el intervalo permitido para $x$ se define a su vez por $\delta$ ), pero no sé dónde está el error en mi funcionamiento. Lo explicaré...

Mi duda surgió al estudiar el $\epsilon-\delta$ definición de funciones polinómicas no lineales, digamos una función cuadrática, cuando se quiere probar que el límite es igual al valor de la función en cualquier valor dado de $x$ . Este podría ser el caso al comprobar la continuidad, por ejemplo. Como he visto hasta ahora, la forma normal de resolver la demostración de polinomios cuadráticos consiste en convertir la desigualdad épsilon así:

| F (X) - L | < ϵ = - ϵ < F (X) - L < ϵ

$|f(x) - L| < \epsilon = -\epsilon < f(x) - L < \epsilon$

Entonces igualando la parte media con el lado inferior del $\delta$ desigualdad y finalmente eligiendo el mínimo de las dos posibilidades que obtienes, teniendo en cuenta que tienes que asegurar todos los valores de $x$ tendrá una imagen dentro del $\epsilon$ intervalo.

¡Pero!

Como me di cuenta recientemente, el polinomio que obtienes después de restar el límite a la función cuando ambos son iguales, ya que esto se anula a 0, siempre es factorizable. Además, uno de los dos factores que obtienes ya corresponde al lado inferior de la desigualdad delta. Aquí está la prueba formal de esto.

Dado:

\underset{X \to norte}{límite} a X^{2} + b X + C = a {norte}^{2} + b norte + C

$\lim_{x \to n} ax^2 + bx + c = an^2 + bn + c$

La desigualdad épsilon de la demostración sería:

| a X^{2} + b X + C - (a {norte}^{2} + b norte + C) | < ϵ

$|ax^2 + bx + c - (an^2 + bn + c)| < \epsilon$

Y trabajando a partir de eso:

| a X^{2} + b X + C - a {norte}^{2} - b norte - C | < ϵ

$|ax^2 + bx + c - an^2 - bn - c| < \epsilon$

| a X^{2} + b X - a {norte}^{2} - b norte | < ϵ

$|ax^2 + bx - an^2 - bn| < \epsilon$

| a (X^{2} - {norte}^{2}) + b (X - norte) | < ϵ

$|a(x^2 - n^2) + b(x - n)| < \epsilon$

| a (X + norte) (X - norte) + b (X - norte) | < ϵ

$|a(x + n)(x - n) + b(x - n)| < \epsilon$

| (X - norte) (a (X + norte) + b) | < ϵ

$|(x - n)(a(x + n) + b)| < \epsilon$

| X - norte | | a (X + norte) + b | < ϵ

$|x - n||a(x + n) + b| < \epsilon$

| X - norte | < \frac{ϵ}{| a (X + norte) + b |}

$|x - n| < \frac{\epsilon}{|a(x + n) + b|}$

¡Y ahí está! Siempre tendrás el lado inferior de la desigualdad delta a la izquierda. Así, se podría definir $\delta$ como:

d \leq \frac{ϵ}{| a (X + norte) + b |}

$\delta \le \frac{\epsilon}{|a(x + n) + b|}$

Et voila! Aquí tienes $x$ delta definidor.

Ahora, obviamente algo raro está pasando aquí... ¿no es así? Sospecho que mis matemáticas son defectuosas en algún momento, posiblemente al manejar valores absolutos. Agregue a eso que no tengo idea de cómo conectar este método con el que tiene que elegir entre dos valores posibles de $\delta$ .

¡Cualquier ayuda con este lío sería muy apreciada!

Tanner

La diferencia entre continuidad uniforme y continuidad es que para continuidad uniforme el valor de δ depende solo de ε y no del punto

x

$x$ en el dominio

Paramanand Singh

δ

$\delta$ depende de

ϵ

$\epsilon$ y el punto de consideración (aquí

n

$n$ ). Los valores de la variable

x

$x$ entonces están limitados por el valor de

δ

$\delta$ elegido por desigualdad

0 < | x - n | < δ

$0<|x-n|<\delta$ . Además, la definición requiere que demuestre la existencia de un

δ

$\delta$ con las propiedades deseadas y no es necesario tener una expresión explícita para

δ

$\delta$ .

Respuestas (1)

¿Es posible que xxx aparezca en la definición de δδ\delta en una prueba de límite ϵ−δϵ−δ\epsilon-\delta?

La diferencia entre continuidad uniforme y continuidad es que para continuidad uniforme el valor de δ depende solo de ε y no del punto $x$ en el dominio
$\delta$ depende de $\epsilon$ y el punto de consideración (aquí $n$ ). Los valores de la variable $x$ entonces están limitados por el valor de $\delta$ elegido por desigualdad $0<|x-n|<\delta$ . Además, la definición requiere que demuestre la existencia de un $\delta$ con las propiedades deseadas y no es necesario tener una expresión explícita para $\delta$ .

Arnaud Mortier · Answer 1

Arnaud Mortier

Cuando se quiere comprobar la continuidad en algún punto $x$ , lo primero que haces es arreglar $x$ . Desde ese punto en adelante, $x$ es una constante , como $2$ o $3$ . Diciendo que no estás feliz de ver $x$ en $\delta$ en tal caso es como decir que no estás contento de ver $2$ o $3$ .

Ahora en tu situación, tienes razón en que hay un problema, dado que $x$ es una variable que tiende a $n$ , mientras $n$ es el fijo, por lo que no tiene sentido tener $x$ parte de la definición de $\delta$ .

Sin embargo, puede deshacerse fácilmente de la $x$ -dependiendo del lado derecho, pero para hacer eso necesita corregir la causalidad en su sucesión de líneas, es decir, insertar $\Rightarrow$ , $\Leftarrow$ , $\Leftrightarrow$ Donde es importante. Es muy importante hacer esto todo el tiempo, de lo contrario te olvidas de lo que quieres probar y terminas escribiendo cosas que no tienen sentido.

Así que hagamos eso, lo que necesitas es $|x-n|<\delta\implies |f(x)-f(n)|<\varepsilon$ . Así que necesitamos

| X - norte | < \frac{ϵ}{| a (X + norte) + b |} ⟸ | X - norte | < d

$|x - n| < \frac{\epsilon}{|a(x + n) + b|}\Longleftarrow |x - n| < \delta$ Y para eso basta con tener

δ

$\delta$ menos que todos los valores asumidos por la función

\frac{ϵ}{| a (x + n) + b |}

$\frac{\epsilon}{|a(x + n) + b|}$ cuando

x

$x$ cubre un vecindario cercano de

n

$n$ . Puede verificar fácilmente que pase lo que pase

a

$a$ y

b

$b$ son, hay tal

δ

$\delta$ .

Haris Gusic

El OP no está comprobando la continuidad en

x

$x$ , pero en

n

$n$ en cambio.

x

$x$ no es constante

Arnaud Mortier

@HarisGusic Gracias. Fijado.

alejandro cambra

Creo que no lo entiendo bien. ¿Podría mostrar un ejemplo trabajado? Decir,

lim_{x \to 2} x^{2} + 4

$\lim_{x\to 2} x^2 + 4$ , donde tendríamos

\frac{ϵ}{| x + n |}

$\frac{\epsilon}{|x + n|}$ , sin

a

$a$ ni

b

$b$ . ¿Se supone que debo intentar conectar diferentes valores y ver cuáles hacen que se mantengan las desigualdades? En este caso por ejemplo, dado

n = 2

$n = 2$ , si elijo

ϵ = 3

$\epsilon = 3$ tendria que elegir

x > 1

$x > 1$ para hacer el

ϵ

$\epsilon$ la desigualdad se mantiene. Pero entonces no sé exactamente qué se supone que debo hacer con

δ

$\delta$ . Siento que lo entiendo un poco más, pero no puedo entender todo el asunto.

Arnaud Mortier

@AlejandroCambra supongo

n > 0

$n>0$ para que sea más fácil de pensar. Entonces cuando

x

$x$ se encuentra en el intervalo

[\frac{n}{2}, n + \frac{n}{2}]

$[\frac n2, n+\frac n2]$ , el denominador

| x + n |

$|x+n|$ es siempre menor que

| 2 n |

$|2n|$ , que es una constante , y por lo tanto

\frac{ε}{| x + n |}

$\frac{\varepsilon}{|x+n|}$ es siempre más que

\frac{ε}{| 2 n |}

$\frac{\varepsilon}{|2n|}$ , entonces

δ = \frac{ε}{| 2 n |}

$\delta = \frac{\varepsilon}{|2n|}$ obras.

alejandro cambra

Oh, está bien, creo que lo estoy entendiendo. Pero no debería ser la constante

| 3 n |

$|3n|$ ? Porque

x

$x$ podría ser

n + \frac{n}{2}

$n + \frac{n}{2}$ , de este modo

| x + n | = | \frac{5 n}{2} | > | 2 n |

$|x + n| = |\frac{5n}{2}| > |2n|$ . Y no se puede establecer la constante sin el operador de valor absoluto, ya que

n

$n$ se define como positivo? Ahora. Si entiendo bien, el proceso consiste en definir primero un intervalo para

x

$x$ y luego establecer una constante más alta que el denominador bajo

ϵ

$\epsilon$ , ¿no es así? Aún así, tengo algunas dudas sobre

x

$x$ . ¿Qué es? ¿Cuál sería su representación gráfica? ¿Es necesario definirlo como un intervalo y centrado alrededor de

n

$n$ ?

Arnaud Mortier

@AlejandroCambra correcto, mi error, reemplace cada instancia de

2 n

$2n$ por

3 n

$3n$ en mi comentario.

Arnaud Mortier

x

$x$ es solo una variable que puede tomar valores arbitrarios, pero si observa la definición de continuidad, solo valores arbitrariamente cercanos a

n

$n$ son significativos.

alejandro cambra

OK, he estado tratando de recapitular estos días, y tengo una duda relacionada con tu primera pregunta: ¿por qué no podemos definir

δ

$\delta$ como

\frac{ϵ}{| a (x + n) + b |}

$\frac{\epsilon}{|a(x + n) + b|}$ , en lugar de más bajo que eso? ¿No se definió delta como menor o IGUAL A esa expresión? Aparte de eso, he encontrado otra posible advertencia. Llevar

lim_{x \to 2} x^{2} + 4

$\lim_{x \to 2} x^2 + 4$ de nuevo y elige

ϵ = 3

$\epsilon = 3$ y

x = n + \frac{n}{2} = 3

$x = n + \frac{n}{2} = 3$ . Ahora,

| x - n | < \frac{ϵ}{| 3 n |}

$|x - n| < \frac{\epsilon}{|3n|}$ es igual

1 < \frac{1}{2}

$1 < \frac{1}{2}$ , que obviamente no se sostiene.

Arnaud Mortier

@AlejandroCambra

δ

$\delta$ se define como menor o igual a cualquier valor posible tomado por esa expresión, como

x

$x$ varía Realmente, tu primera corazonada fue totalmente correcta, realmente no tiene sentido tener

x

$x$ en la definición de

δ

$\delta$ . De hecho,

x

$x$ es una variable ligada que tiene sentido solo dentro del límite

lim_{x \to \dots}

$\lim_{x\to \ldots}$ .

Arnaud Mortier

@AlejandroCambra Eso no es una advertencia. Todo lo que estamos diciendo es que SI

| x - n | < δ

$|x-n|<\delta$ ENTONCES

| f (x) - f (n) | < ε

$|f(x)-f(n)|<\varepsilon$ . Pero

| x - n | \geq δ

$|x-n|\geq \delta$ muy bien puede suceder, eso está bien.

alejandro cambra

Entonces, ¿por qué dijiste que "basta tener

δ

$\delta$ menos que todos los valores asumidos por la función"? ¿Y cómo es

| x - n | \geq δ

$|x - n| \geq \delta$ permitido por la prueba?

Arnaud Mortier

@AlejandroCambra Si no entiende ese punto, lo mejor es volver a escribir su prueba, como sugerí, primero indicando lo que quiere y luego incluyendo lo relevante

⟹

$\implies$ señales.

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¿Qué sucede si ϵϵ\epsilon es infinito en la definición de límites de ϵϵ\epsilon-δδ\delta?

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