Dejar y ser categorías abelianas. Suponer tiene suficientes inyectivas, y considera un universal (cohomológico) -funtor de a . Por la teoría de los funtores derivados sabemos que para todos los objetos inyectivos y todo y eso es borrable para . Pero, ¿se puede mostrar esto directamente sin invocar funtores derivados?
En los 10 años desde que hice esta pregunta, aprendí algunas otras teorías de los funtores derivados, y el hecho de que no ha habido respuesta me lleva a creer que la pregunta puede no tener respuesta porque la definición de ( universal ) -funtor es simplemente demasiado débil. Quizás el mismo Grothendieck se dio cuenta de esto cuando él y Verdier desarrollaron la teoría de (categorías trianguladas y) categorías derivadas. Así que déjame responder una pregunta modificada.
La fuente principal de secuencias exactas largas en categorías abelianas, hasta donde yo sé, son secuencias exactas cortas de cadenas complejas en categorías abelianas, o más generalmente triángulos en categorías trianguladas. Sin embargo, parece que no todas las sucesiones exactas largas surgen de esta manera: Neeman [ Secuencias exactas largas provenientes de triángulos ] mostró que existe una condición necesaria que involucra y Šťovíček [ Una caracterización de secuencias exactas largas provenientes del lema de la serpiente ] mostró que la condición de Neeman no es suficiente. Entonces, si lo que realmente queremos es una secuencia exacta larga que provenga de un triángulo, deberíamos pedir un triángulo.
Otro problema con el -formalismo functor es que es muy difícil expresar cómo el universal -funtor de un funtor compuesto está relacionado con los compuestos del universal correspondiente -funtores. ( tos de secuencia espectral de Grothendieck tos ) Es más fácil expresar en el formalismo de la categoría derivada: simplemente a partir de la definición, hay una transformación natural canónica del funtor derivado derecho de un compuesto al compuesto de los funtores derivados correctos, pero siento que el la definición original es deficiente: en la práctica, cuando los funtores derivados de la derecha se construyen mediante resoluciones inyectivas, la comparación es un isomorfismo, pero que yo sepa, esto no se puede demostrar solo con la definición.
Lo anterior ya lo entendí más o menos hace 6 o 7 años, pero recientemente leí algunos comentarios sobre MathOverflow y en el proyecto Stacks que me hicieron darme cuenta de que hay una forma de modificar la definición de funtor derivado para que:
Como tal, con esta definición, es un teorema que los objetos inyectivos son acíclicos para los funtores exactos a la izquierda, ¡ya sea que haya suficientes inyectivos o no!
(Creo que alguien, quizás tb, trató de explicarme estas ideas hace muchos años, pero en ese entonces no entendía las categorías derivadas en absoluto. Incluso ahora solo tengo una leve comprensión de las categorías derivadas, y todavía no entiendo las categorías trianguladas. categorías.)
Ahora, con el prefacio fuera del camino, podemos discutir los detalles matemáticos.
Dada una categoría abeliana , dejar sea la categoría de cadenas complejas (ilimitadas), sea ser homotopía de la cadena módulo, y sea ser o localizado con respecto a cuasi-isomorfismos. (Es un ejercicio simple demostrar que ambas definiciones son equivalentes).
Dado un funtor aditivo dónde y son categorías abelianas, obtenemos automáticamente funtores inducidos y , y si es exacta (o, equivalentemente, conserva cuasi-isomorfismos), entonces obtenemos un funtor inducido . Los funtores derivados de , o mejor , son esencialmente las mejores aproximaciones de por funtores que conservan cuasi-isomorfismos. Sin embargo, la funcionalidad estricta es difícil de lograr, por lo que a menudo trabajamos al nivel de en lugar de .
Definición. Dejar ser un funtor y dejar ser una cadena compleja en . El valor del funtor derivado derecho de en es un objeto en junto con un mapa asignando a cada objeto y morfismo en un morfismo en , tal que se cumplan las siguientes condiciones:
(Mutatis mutandis para en lugar de . Es claro que si factores a través del cociente entonces no importa lo consideramos como un funtor o un funtor .)
Los expertos reconocerán esto como una instancia de una extensión Kan izquierda puntual. Si tiene colimits de diagramas de forma entonces el valor del funtor derivado derecho de en existe, por cada . (Mutatis mutandis para .) Esto sucede si, por ejemplo, es pequeño y es cocompleto, tal vez esto es a lo que Grothendieck aludía en su comentario después del teorema 2.2.2 en su artículo de Tôhoku. De todos modos, volvamos a las inyecciones.
Definición. Un complejo de cadena inyectable K en es un complejo de cadenas en tal que el funtor conserva cuasi-isomorfismos.
Ejemplo. Cualquier complejo de cadena acotado por encima (¡homológico!) de objetos inyectivos es K-inyectivo.
Proposición. Dejar ser una cadena compleja en . Los siguientes son equivalentes.
es un complejo de cadena inyectable K en .
el funtor envía cuasi-isomorfismos a isomorfismos.
Para cada complejo de cadena , el mapa definido por el funtor de localización es un isomorfismo.
Prueba. Que 1 implica 2 es claro, porque . Es sencillo demostrar que 2 implica es sobreyectiva, pero parece que verificar la inyectividad requiere el uso del cálculo de fracciones de Gabriel-Zisman. Que 3 implica 2 es obvio, y 2 implica 1 por un argumento de cambio de grado. ◼
Teorema. Dejar sea un complejo de cadena inyectiva K en y deja ser un funtor. Si envía equivalencias de homotopía de cadena de complejos de cadena en a los isomorfismos en , entonces , junto con el mapa que asigna a cada y en el morfismo en , es el valor del funtor derivado por la derecha de en .
Prueba. La hipótesis implica factores como el cociente seguido de un funtor (determinado de forma única) . Por otro lado, la proposición dice que todo morfismo en eleva únicamente a , entonces (abusando un poco de la notación) tenemos un morfismo bien definido en . El resto de la verificación es esencialmente el lema de Yoneda. ◼
Corolario. Si es un objeto en y tenemos una secuencia exacta en del siguiente formulario,
Ejemplo. Dejar sea una categoría abeliana y sea Sea un funtor aditivo. Entonces el funtor inducido (¡abusando de la notación!) conserva las equivalencias de homotopía de la cadena, por lo tanto, el compuesto Envía equivalencias de homotopía en cadena a isomorfismos. Así, poniendo , podemos aplicar el teorema y su corolario. Los funtores derivados clásicos se recuperan tomando la homología de los funtores derivados modernos (cuando hay suficientes inyectivas), por lo que hemos probado (para nuestra definición de funtores derivados, sin asumir que hay suficientes inyectivas) que
He aquí una prueba de que las inyectivas son acíclicas en el caso de que es borrable -funtor. Es decir, para cada objeto y cada hay un mono tal que . Borrable -funtores son universales , ya sea tiene suficientes inyectivas o no.
Asumiendo es borrable, vamos ser un objeto inyectivo y . Elige un mono con . Porque es inyectiva, la secuencia se divide exactamente. Aditividad de implica para ser dividido exactamente, entonces sigue siendo mono. Pero , por lo tanto .
Esta prueba no requiere tener suficientes inyecciones. Sin embargo, la borrabilidad me parece una condición más fuerte que la mera universalidad. ¿Conoces un buen contraejemplo para un universal? -funtor, que no es borrable?
parsa
Zhen Lin
jimmy r
Afelio
Zhen Lin