Preguntas sobre derivadas débiles

Hay dos definiciones de diferenciación generalizada que parecen relevantes para el contexto de las EDP. (Es decir, generalizamos qué objetos se pueden diferenciar, pero nos mantenemos en el espacio euclidiano. También hay otros tipos de generalizaciones que cambian el espacio, como los derivados de Frechet o Gateaux en los espacios de Banach).

Una es que tomamos cualquier distribución (funcional lineal continua en C C o metro ∞ con la topología de convergencia de todas las derivadas en sup norma) y la precomponemos con diferenciación por signo negativo. No hay cuestión de existencia aquí.

El otro se llama "derivada débil" y se supone que se aplica solo a funciones medibles de Borel localmente integrables, pero nuevamente en algún subconjunto abierto del espacio euclidiano. Entonces, la derivada débil puede o no existir, y cuando existe, la definición es que es integrable localmente y debe satisfacer la relación de integración por partes contra funciones de prueba compatibles de forma compacta y suave.

Deduzco que la primera generalización es una generalización incluso de la segunda, siempre que se identifiquen funciones localmente integrables con sus distribuciones de integración. Entonces primero se extiende segundo se extiende la diferenciación ordinaria. Mis preguntas son las siguientes, si eso es correcto:

  1. ¿Qué distribuciones tienen antiderivadas? ¿Qué funciones localmente integrables tienen antiderivadas débiles? En el caso débil, ¿parece que esto tiene que ver con la continuidad absoluta?

  2. Es fácil para mí formalizar una declaración que dice que los derivados dependen solo de información local para derivados débiles. Pero, ¿hay algo así para los derivados distributivos? ¿Qué significaría mirar localmente una distribución?

  3. Solo para derivados débiles, que pueden no existir, ¿cuáles son algunos ejemplos de cuándo un α existe la derivada, pero existe una β ≤ α para el cual el β ¿La derivada débil no existe? ¿Qué pasa si en cambio β ≥ α , que puede no ser trivial ya que no creo que las antiderivadas sean gratuitas.

  4. ¿Hay una heurística, como la que había para las derivadas ordinarias, que me permita saber si existirá la derivada débil y tal vez incluso calcular rápidamente la respuesta? En este momento, todo lo que puedo ver es que si la función es suave por partes, entonces si existe una derivada débil, entonces conoce todo el comportamiento excepto en los puntos de unión, y esos no importan ya que la derivada débil solo está definida hasta ae Entonces, si puede encontrar una buena razón por la que esta conjetura no funcione, entonces ningún otro candidato podría funcionar tampoco.

(Estoy leyendo el libro de Knapp sobre análisis avanzado)

Encontré un ejemplo que demuestra que ocurre la patología sugerida en (3.), así como la otra parte de (3.) que considero menos patológica. Para un caso en el que puede tomar 1 derivado, pero no 2, solo necesita mirar en 1-dim. ahí puedes mirar F ( X ) = X o 0 a medida que X ≥ 0 o X < 0 . Por el contrario, hay que ir a 2 dimensiones y considerar la función escalón del lado pesado en X que tiene un X y derivada de 0 pero una X derivada que sería, como distribución, integración a lo largo de la línea parametrizada X = 0 .
ad (4): Una función en dimensión 1 es débilmente diferenciable si y sólo si tiene un representante que es localmente absolutamente continuo. Esto significa que hay un L yo o C 1 función gramo tal que h ( X ) − h ( y ) = ∫ y X gramo ( t ) d t vale para todos X , y , dónde h es el representante continuo de F . Esto implica que cada función débilmente diferenciable es continua y diferenciable en casi todas partes. es débilmente diferenciable si y si F ′ ∈ L yo o C 1 con F ( X ) − F ( y ) = ∫ y X F ′ ( t ) d t casi en todas partes (o en todas partes para el representante continuo).

Respuestas (2)

Entonces:

  1. Sí. tu es CA si ∃ w ∈ L yo o C 1 tal que tu = ∫ w d X .
  2. No. Las distribuciones son, por definición, funcionales, no funcionales. Algunas distribuciones se pueden identificar con una función (como las funcionales lineales en L yo o C 1 ), pero en general no tiene sentido hablar del valor de una distribución en un punto del espacio. Solo se puede hablar del emparejamiento de la distribución con una función de prueba.
  3. No estoy seguro de lo que quieres decir. Si existe la derivada de una función integrable, entonces debe coincidir con su derivada débil. Así que si β ≤ α , la existencia de la α − t h derivada implica la existencia de la β − t h derivado débil. De la manera opuesta es trivial: tomar la integral de | X | , que tiene una derivada (fuerte) de orden uno, una derivada débil de orden 2, pero ninguna derivada de orden superior a 2.
  4. No estoy 100% seguro de si esto es cierto, pero siento que, para tener una derivada débil, una función debe ser igual en casi todas partes a una función AC.
anuncio (2): No se puede hablar del valor de una distribución en un punto, pero hay formas de mirar "localmente" una distribución F . Es decir, considera φ ⋅ F , dónde φ está bien localizado alrededor X (y ≡ 1 en un pequeño barrio de X ). Por ejemplo, tiene sentido decir que F es localmente C ∞ en X . Esto solo significa que hay una función. φ como arriba para que φ ⋅ F está dada por la integración contra un C ∞ función.
@PhoemueX, para hacer eso, debe considerar un tipo particular de distribuciones, a saber L yo o C 1 funciones y apelación al teorema de diferenciación de Lebesgue (también conocido como la versión de Lebesgue del teorema de Lagrange para la integral de Riemann). Pero incluso entonces, el emparejamiento sería un número "pequeño", ya que φ es constante en un pequeño intervalo. Además, no entiendo a qué te refieres con " F es localmente C ∞ en X "... La función x q define una distribución (ya que es localmente integrable), pero no es continua en ninguna parte.
@bartgol: Mira mi respuesta. Explica con más detalle lo que quería decir.
@bartgol, para (3), pregunta si es posible, por ejemplo, que una función tenga una segunda derivada débil pero no una primera derivada débil.

Ok, permítanme ampliar mis comentarios. A continuación, escribiré "distribución" para denotar una distribución en C C ∞ ( Ω ) para algunos abiertos fijos Ω ⊂ R d .

En primer lugar, cada función F ∈ L yo o C 1 ( Ω ) induce una distribución φ F en C C ∞ ( Ω ) por

φ F : C C ∞ ( Ω ) → k , gramo ↦ ∫ Ω F ( X ) gramo ( X ) d X .

Observe que el mapa F ↦ φ F no es inyectivo en el nivel de las funciones individuales. Pero φ F = φ gramo se cumple si y solo si F = gramo Casi en cualquier parte.

Ahora, decimos que una distribución φ es de clase L pag (o C ∞ , o C C ∞ , o si φ = φ F tiene para algunos F ∈ L pag (o F ∈ C ∞ , ...).

Finalmente, podemos definir la multiplicación de una distribución arbitraria φ con una función F ∈ C ∞ ( Ω ) por

( F ⋅ φ ) ( gramo ) := φ ( F ⋅ gramo )  para  gramo ∈ C C ∞ ( Ω ) .

Esta definición es natural, porque φ F ⋅ gramo = F ⋅ φ gramo tiene para gramo ∈ L yo o C 1 y F ∈ C ∞ .

Ahora bien, podemos hablar localmente de distribuciones en el siguiente sentido: Decimos que una distribución φ es de clase L pag , C ∞ , ... en X ∈ Ω (o, más precisamente, en un barrio de X ), si hay una función F ∈ C C ∞ ( Ω ) con F ≡ 1 en un barrio de X tal que F ⋅ φ es de clase L pag , C ∞ , ... (como se define anteriormente).

EDITAR: Vale la pena señalar que la función x q , considerada como una distribución es igual a la distribución cero. Por eso, x q sería considerado como de clase C ∞ con esta terminología. Esto es simplemente una consecuencia del hecho de que las distribuciones (o integración contra funciones (suaves)) no "ven" conjuntos nulos.

Pero después de todo, x q es igual a la función cero en casi todas partes.

Además, en ciertos dominios (permítanme tomar Ω = R d por simplicidad), se puede demostrar que existen antiderivadas, al menos para todas las distribuciones de orden finito . Aquí, una distribución φ se llama de orden finito, si

| φ ( gramo ) | ≤ C ⋅ ‖ gramo ‖ norte

vale para todos gramo ∈ C C ∞ ( Ω ) , para constantes C > 0 , norte ∈ norte independiente de gramo y con

‖ gramo ‖ norte := máximo { | ∂ α gramo ( X ) | ∣ X ∈ Ω , | α | ≤ norte } .

La razón de esto es la siguiente: la clase de distribuciones es la clase más pequeña que contiene todas las funciones continuas que también se cierra tomando derivadas (débiles). Más precisamente, el Teorema 6.28 del Análisis Funcional de Rudin establece que para cada distribución Λ en Ω , existen funciones continuas gramo α en Ω para cada índice múltiple α , tal que

  1. cada compacto k ⊂ Ω intersecta los soportes de solo un número finito de gramo α y
  2. Λ = ∑ α D α gramo α .
  3. Si Λ es de orden finito, entonces gramo α ≡ 0 para todos menos un número finito α .

Para cada i ∈ { 1 , … , d } , podemos elegir una antiderivada (es decir, una función continua) gramo α ′ de gramo α en direccion mi i , es decir, con

∂ i gramo α ′ = gramo α ,

y con gramo α ′ ≡ 0 si gramo α ≡ 0 . Para elegir esta antiderivada, usamos Ω = R d .

Entonces es fácil ver que Γ := ∑ α gramo α ′ es una distribución bien definida con ∂ i Γ = Λ .

Estoy un poco descontento con la terminología que una distribución es C k (o lo que sea) en X , ya que eso puede sugerir una interpretación puntual más que local. Si la terminología no está establecida, puede ser mejor decir que φ es C k (o...) en un barrio de X .
@DanielFischer: Gracias por el comentario. Cambié la terminología. Creo haber leído la expresión "suave en X " en alguna parte, pero la terminología alternativa es más precisa.
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